小平邦彦著『岩波講座基礎数学 解析入門 III』より。 第 7 章の積分を一気に読む。

  • 積分
    • 矩形：ここでは閉区間の直積の形に限定する。

    • (D 7.1) $K = [a, b] \times [c, d]$ 上の $f(x, y)$ の積分のリーマン式定義。

      \[\begin{aligned} \int_K\!f(x, y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y &= \int_a^b\!\int_c^d\!f(x, y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\\ &= \lim_{\delta[\Delta]\to 0}\sum_{j = 1}^m\sum_{k = 1}^nf(\xi_{jk}, \eta_{jk})(x_j - x_{j - 1})(y_k - y_{k - 1}),\\ \text{where } \delta[\Delta] &= \max_{j, k}{\sqrt{(x_j - x_{j - 1})^2 - (y_k - y_{k - 1})^2}}. \end{aligned}\]
      • この積分が定まることを証明するために一様連続性が要る。
    • (Th 7.1) 二重積分の性質各種：加法性、線形性、評価、三角不等式

    • (Th 7.2) 矩形分割しても定積分は和をとれば OK

      \[\int_K\!\dots = \sum_{\lambda = 1}^n \int_{K_\lambda}\!\dots.\]

    • (Th 7.3) 累次積分

      \[\int_a^b\!\int_c^d\!f(x, y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_c^d\!\mathrm{d}y\int_a^bf(x, y)\,\mathrm{d}x.\]
      • 二重積分は一変数関数の定積分の繰り返しに帰着できる。
    • (Th 7.4) 微分積分学の基本公式風
      • 関数 $f(x, y)$ が矩形 $K = [a, b] \times [c, d]$ で連続である。
      • $\displaystyle F(x, y) = \int_a^x\int_c^yf(t, u)\,\mathrm{d}u\mathrm{d}t$ とする。
      • 偏導関数 $F_y(x, y), F_{yx}(x, y)$ が存在して連続である。
      • $F_{yx}(x, y) = f(x, y)$

      このとき次が成り立つ：

      \[\int_a^b\!\int_c^d\!f(x, y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = F(b, d) - F(a, d) - F(b, c) - F(a, c).\]
      • $F(x, y)$ を $f(x, y)$ の不定積分であるとはいわない。
      • したがって上記等式の左辺を定積分とはいわない。
      • なお、$F_x(x, y)$ が存在すれば $F_{xy}(x, y)$ も存在して $F_{xy}(x, y) = F_{yx}(x, y)$ であることがいえる。

    • 矩形塊：有限個の矩形の和集合。ただし次のようにとる：

      \[A = \bigcup_{i = 1}^\nu K_i,\quad \operatorname{int}K_i \cap \operatorname{int}K_j = \varnothing\ (i \ne j).\]
    • (D 7.2) (D 7.1) の矩形塊版。
    • (Th 7.5) (Th 7.1) の矩形塊版。

      • 最後の項目は見慣れないものだ。矩形塊 $A, B$ が $B \subset A$ ならば次が成り立つ：

        \[\begin{aligned} & \int_B\! {|f(x, y)|}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y \le \int_A\! {|f(x, y)|}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y,\\ & \left\lvert \int_A\!f(x, y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y - \int_B\!f(x, y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y \right\rvert \le \int_A\! {|f(x, y)|}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y - \int_B\! {|f(x, y)|}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y. \end{aligned}\]
  • 広義積分
    • 平面上の領域 $D$ における連続関数 $f(x, y)$ の積分 $\displaystyle \int_Df(x, y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ を考察する。
    • 領域 $D$ を「内部から単調に収束する」矩形塊列 $\lbrace A_m\rbrace$ 上の積分の極限とみなすのが基本方針。
    • (L) 「部分和」の絶対収束と収束について
      • $\sigma_m = \int_{A_m}\lvert f(x, y)\rvert\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$
      • $s_m = \int_{A_m} f(x, y) \,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$

      とおく。次が成り立つ：

      • $\lbrace \sigma_m\rbrace$ が収束するならば、$\lbrace s_m\rbrace$ が収束する（コーシー列）。
        • この右辺の極限をもって、領域における連続関数の積分と定義する。
      • $\lbrace \sigma_m\rbrace$ が発散するならば、広義積分は発散する。
      • 例によって、この収束性は矩形塊列のとり方に依らない（コンパクト性から示せる）。
      • 重積分に対しては、条件収束の概念はないものとする（やはり複雑過ぎるからか）。
    • (Th 7.6) (Th 7.1, 7.5) の領域版。

    • 面積：領域 $D$ の面積 $\omega(D)$ を次で定義する：

      \[\omega(D) = \int_D\!\mathrm{d}x\mathrm{d}y.\]
      • 有界領域 $D$ 上有界な連続関数の広義積分はつねに絶対収束する。 $\displaystyle \because \exists M\left(\left\lvert\int_Df(x, y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right\rvert \le M\omega(D)\right).$
    • 閉区域上の積分
      • 曲線、滑らかな曲線、区分的に滑らかな曲線
      • 初等関数：私の言葉でいうと「グラフ表現可能な曲線」。
      • 滑らかな曲線は有間個の初等関数に分割される。
    • (Def 7.3) 閉区域：「Jordan 曲線で囲まれる領域の閉包」と読める。
    • (Def 7.4) 広義積分（閉区域版）
      • これを定義することで矩形における積分の定義が二通り存在することになるが、両者は一致する。
    • (Th 7.7) (Th 7.2) の閉区域版
    • (Th 7.8) (Th 7.1, 7.5, 7.6) の閉区域版

    • (Th 7.9) 平均値の定理：$f(x, y)$ が閉区域 $K$ で連続ならば次が成り立つ：

      \[\exists (\xi, \eta) \in K \left( \frac{1}{\omega(K)}\int_K\! f(x, y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = f(\xi, \eta) \right).\]
    • (E 7.1) 一般 Cantor 集合が絡む閉領域上の (Th 7.7) が成り立たないこと。
    • 注意欄で面積確定性について触れられている。解析入門の水準では定義域が変な積分を考察しないので、本書のような戦略をとれる。
    • (Th 7.10) 累次積分
      • 関数 $\psi(x)$ は区間 $[a, b]$ で連続かつ $\psi(x) > c$ を満たす。
      • $K$ を曲線 $y = \psi(x),\ y = c,\ x = a,\ x = b$ で囲まれた閉区域とする。

      このとき次が成り立つ：

      \[\begin{aligned} \int_K\!f(x, y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y &= \int_a^b\!\mathrm{d}x \int_c^{\psi(x)}\!f(x, y)\,\mathrm{d}y\\ \omega(K) &= \int_a^b\!(\psi(x) - c)\,\mathrm{d}x. \end{aligned}\]

      系として、定数 $c$ の代わりに関数 $\varphi(x)\ (\varphi(x) < c)$ をあてはめて：

      \[\omega(K) = \int_a^b\!(\psi(x) - \varphi(x))\,\mathrm{d}x.\]
  • 積分変数の変換
    • これを復習したかった。
    • 目的：一変数の定積分における置換積分の公式を二重積分に拡張したい。
    • (Th 7.11) 領域の閉区域分割と絶対収束
      • $D$: 領域
      • $K_1, \dotsc, K_n, \dots$: 閉区域であって、$D$ の分割である。

      このとき次が成り立つ：

      • $\displaystyle \int_D\lvert f(x, y)\rvert\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \sum_{n = 1}^\infty \int_{K_n}\lvert f(x, y)\rvert\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y.$
      • $\displaystyle \int_Df(x, y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ は上の等式の右辺が有限のときに絶対収束して、その値は $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty \int_{K_n}f(x, y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ に等しい。
    • 写像、像、合成写像、逆像、逆写像の定義
    • 連続写像：$\varPhi \colon E \longrightarrow \R^2$ が連続写像であるとは、 $(x, y) = \varPhi(u, v) = (\varphi(u, v), \psi(u, v))$ と書いたときの $\varphi$, $\psi$ が連続関数であることをいう。
    • $C^1$ 級写像：連続微分可能な写像、すなわち
      • $E$ が領域であり、
      • $\varphi$, $\psi$ が $C^1$ 級関数であることをいう。
    • 開集合と連続写像の関係

    • Jacobi 行列：$\varPhi(u, v) = (\varphi(u, v), \psi(u, v))$ における次の行列をいう：

      \[\def\arraystretch{2.4} \begin{pmatrix} \dfrac{\partial x}{\partial u} & \dfrac{\partial x}{\partial v}\\ \dfrac{\partial y}{\partial u} & \dfrac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix}\]

      覚え方：

      \[\begin{pmatrix} \mathrm{d}x\\\mathrm{d}y \end{pmatrix} = J \begin{pmatrix} \mathrm{d}u\\\mathrm{d}v \end{pmatrix}\]
    • Jacobian, 関数行列式：上述行列の行列式をいう。

    • Jacobian を表す記号がいろいろある。使い分けることが多い：

      \[J(u, v), \frac{D(x, y)}{D(u, v)}, \frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)}, \frac{\partial(\varphi, \psi)}{\partial(u, v)}.\]
    • 合成関数、逆写像の Jacobian
    • (Th 7.12) 逆写像定理の二次元版
      • 集合 $E \in \R^2$ を領域とする。
      • 写像 $\varPhi \colon E \longrightarrow \R^2$ を $C^1$ 級写像とする。
      • $J(u, v)$ をこの写像の Jacobian とする。
      • 点 $(u_0, v_0) \in E$ において、$J(u_0, v_0) \ne 0$ であるとする。

      このとき次が成り立つ：

      • $(u_0, v_0) \in \exists U \subset E.$
      • $\varPhi(u_0, v_0) \in \exists W \in \R^2.$
      • $\varPhi\vert_U \colon U \longrightarrow W$ は全単射である。

      • ${\varPhi\vert_{\varPhi(U)}}^{-1}$ は $W$ において $C^1$ 級写像である。

      • 証明は長い。
    • (L 7.5) 矩形版（特殊な場合だが有用）
    • 座標変換：逆写像定理が成り立つ状況では、写像と逆写像の組を座標変換とみなすことができる。

    • (E 7.2) アフィン変換

      \[\begin{cases} x = \varphi(u, v) = \alpha u + \beta v + a,\\ y = \psi(u, v) = \gamma u + \delta v + b. \end{cases}\]

      $J(u, v) = \alpha\delta - \beta\gamma \ne 0$ ならば全単射写像であり座標変換が成立する。

    • (E 7.3) 極座標
      • $\varPhi \colon \R^+ \times \R \longrightarrow \R^2\setminus\lbrace 0\rbrace$ は全単射ではない。近傍の取り直しを要する。
      \[\begin{cases} x = r\cos\theta,\\ y = r\sin\theta, \end{cases} \quad 0 \le r < \infty,\\ J(r, \theta) = \begin{vmatrix} \cos\theta & -r\sin\theta\\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} = r \ge 0.\]
    • 写像 $\varPhi \colon E \longrightarrow D$ が
      • $C^1$ 級
      • 全単射
      • $E$ 上つねに $J(u, v) > 0$

      であるときに、この写像は定義域の次の各種性質を像で保つ：

      • 開集合
      • 領域
      • 有界閉領域（の内部）
      • $C^1$ 級曲線
      • Jordan 領域
    • (Th 7.13) 変数変換の公式
      • $\varPhi\colon E \longrightarrow \R^2$
      • $f\colon \varPhi(E) \longrightarrow \R^2$ は連続関数である。

      このとき次が成り立つ：

      \[\int_{\varPhi(E)}\!{|f(x, y)|}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_E\!{|f(\varphi(u, v), \psi(u, v))|}J(u, v)\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v.\]

      さらに左辺が有限ならば、上の式で絶対値記号を外しても等式が成立する。

    • (L 7.6) (Th 7.13) の定義域矩形版
    • (Th 7.14) (Th 7.13) の「定義域が区分的に滑らかな曲線を境界である閉区域」版
    • Jacobian の符号に注意を要する。$J < 0$ であるような場合は $\lvert J\rvert$ で置き換えるなり、 はじめから $u$ と $v$ を入れかるなどしておく。
    • (E 7.4) アフィン変換
      • $\omega(K) = (\alpha\delta - \beta\gamma)\omega(H);$ アフィン変換によって面積は $J$ 倍される。
      • 変換が回転のみならば、面積は保たれる。
      • 変換が平行移動のみならば、面積は保たれる。
    • (L 7.7) 二重積分の定積分への分解
      • $I, J$ は開区間である。
      • $D = I \times J$
      • 関数 $g(x), h(x)$ は $C^0$ 級であり、つねにゼロとはならない。

      このとき次が成り立つ：

      \[\int_D\!{|g(x)h(y)|}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y < \infty \rightarrow \\ \left( \int_I\!{|g(x)|}\,\mathrm{d}x < \infty, \int_J\!{|h(y)|}\,\mathrm{d}y < \infty, \int_D\! g(x)h(y)\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_I\!g(x)\,\mathrm{d}x \int_J\!h(y)\,\mathrm{d}y. \right)\]
      • 累次積分を利用して証明する。
    • (E 7.5) $\displaystyle \int_D\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(x^2 + y^2)^s},\quad s > 0$
      • 極座標変換による。
    • (E 7.6) $\displaystyle \int_0^\infty\mathrm{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x$
      • 極座標変換による。
    • (E 7.7) ベータ関数
      • $p > 0, q > 0$
      \[B(p, q) = \int_0^1\!u^{p - 1}(1 - u)^{q - 1}\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v = \frac{\varGamma(p)\varGamma(q)}{\varGamma(p + q)}.\]
      • $\displaystyle \int_D\mathrm{e}^{-x-y}x^{p-1}y^{q-1}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y$ を考える。
      • 変数変換は $u = \dfrac{x}{x + y}$ および $v = x + y$ すなわち $x = uv, y = v - uv.$
      • $J(u, v) = v > 0.$