小平邦彦著『岩波講座基礎数学 解析入門 I』より。今回はおさらい。

  • Cauchy 収束条件の十分条件の復習。

    • 最初に次の切断を構成する：

      \[\begin{aligned} \mathsf{A} &= \{\rho \in \R \mid \# \{n \mid a_n \le \rho\} \in \N\},\\ \mathsf{A}' &= \R\!\setminus\!\mathsf{A} = \{\sigma \in \R \mid \# \{n \mid a_n \le \sigma\} = \aleph_0\},\\ \alpha &= \langle \mathsf{A}, \mathsf{A}' \rangle. \end{aligned}\]

    • この値を上下から押さえる任意の 2 数のペアによって数列が抑えられることを示せばよい： $\forall \rho < \alpha \forall \sigma > \alpha \exists N \in \N (n > N \rightarrow \rho < a_n < \sigma)$ を証明する。

      • $\rho \in \mathsf{A}$ と $\sigma \in \mathsf{A}’$ からうまくやる。
  • 実数列について $a_n b_n \to \alpha\beta$ はむしろ定義であることを確認。 有理数列のときの証明で十分。
    • $\lbrace a_n\rbrace, \lbrace b_n\rbrace$ の収束について、共通の $\varepsilon > 0$ と $n_0(\varepsilon) \in \N$ をとるのが地味に大事だ。
  • (L 1.2) の前半は Cauchy 列は有界であるという主張だ。
  • 閉区間は非可算集合である。閉区間から証明することで、それを含む開区間、数直線全体が非可算集合であると推論できる。
    • 背理法で示す。$I = [a, b] = \lbrace \rho_1, \dotsc, \rho_n, \dotsc\rbrace$ と書けると仮定する。
    • $0 < \varepsilon < b - a$ となる数を一つとる。
    • $I$ の各点に対応して半径 $\varepsilon/2^n$ の開区間 $U_n$ を考える。この和集合は $I$ の開被覆である。
    • 考え方としてはここで後で言う Heine-Borel の被覆定理を用いる。正式には区間縮小法で示すが、 適当に番号を付け替えて $I \subset U_1 \cup \dotsb \cup U_m$ なる有限個の開集合が存在する。

    • このとき、区間 $I$ の「径」について矛盾が生じる：

      \[d(I) = b - a < m \cdot \frac{\varepsilon}{2^n} < \varepsilon.\]
  • (Th 1.27, 1.28) コンパクト集合と有界閉集合との同値性
    • $(\implies:)$
      • $\forall P \notin S, Q \in S$ に対して $\varepsilon(Q) = d(P, Q)/3$ とおく。

      • 次の集合は $S$ の開被覆である：

        \[\mathscr{U} = \bigcup_{Q \in S}\{ Q' \in \R^N \mid d(Q, Q') < \varepsilon(Q)\}\]
      • コンパクト性により $\exists U_1, \dotsc, U_m \in \mathscr{U} (S \subset U_1 \cup \dotsb \cup U_m.)$
      • 各 $U_i$ は有界なので、それらの和集合の部分もまた有界である。ゆえに $S$ は有界。
      • そこで $\varepsilon = \min_{i}\lbrace \varepsilon(Q_i)\rbrace$ とすると、$U_i \cap \lbrace P’ \in \R^N \mid d(P, P’) < \varepsilon\rbrace = \varnothing.$ つまり $P \notin \partial S.$
      • ゆえに $\partial S \subset S$ であり、$S$ は閉集合である。
    • $(\impliedby:)$
      • $S$ の開被覆を $\mathscr{U}$ とおく。
      • 背理法によって示す。つまり $S$ は $\mathscr{U}$ にある有限個の開集合列で被覆できないと仮定して矛盾を導く。
      • $S$ の有界性により $\exists I = [a, b] (S \subset I^N.)$
        • ここで $I$ の径は $d(I) = \sqrt{N}(b - a).$

      • 超区間 $I^N$ をサイズが等しい $2^N$ 個の部分超区間に分割する。 この部分超区間がいずれもコンパクトであるならば、$S$ もコンパクトであることになり仮定に反する。 よって、何か一つはコンパクトでない。それを $S_1$ と呼ぶ：

        \[S_1 \subset S,\quad d(S_1) \le \frac{\sqrt{N}(b - a)}{2}.\]

      • この分割を再帰的に適用する：

        \[S \supset S_1 \supset \dotsb \supset S_n \supset \dotsb, \quad d(S_n) \le \frac{\sqrt{N}(b - a)}{2^N}.\]
      • 縮小法により、$\forall k \in \N \exists P \in S_k.$ $\therefore P \in \exists U \in \mathscr{U}.$
      • このとき $\exists \varepsilon > 0 (U_\varepsilon(P) \subset U, \sqrt{N}(b - a)/2^n < \varepsilon).$ つまり $P \in S_n \land d(S_n) \le \sqrt{N}(b - a)/2^n < \varepsilon.$
      • ゆえに $S_n \subset U$ となるが、これは $S_n$ の非コンパクト性に矛盾する。
  • (Th 1.28 Heine-Borel) → (Th. 1.25 Weierstrass) → (Th 1.30) 有界な点列は収束する部分列をもつ