小平邦彦著『岩波講座基礎数学 解析入門 I』『IV』より。 第 2 章に対応する問題。もう全然わからない。いちおう記録しておく。

  • 第 11 問：$(0, \infty)$ で $\sin\dfrac{1}{x}$ が連続であるが一様連続でない。
    • これはいい。$x = 0$ の微小近傍で絶対値が 1 以下の値をとれるものがあることを言う。 例えば $\varepsilon = 1/2$ とすると $\delta(\varepsilon) > 0$ がとれない。
  • 第 12 問：有界数列が収束する部分列をもつ→閉区間で定義された連続関数が最大値と最小値を持つ。
    • $f$ が有界であることを示せば本文の議論が適用されるので十分だ。
    • 閉区間を稠密に動く数列を取る。これは有界なので収束する部分列を持つ。はじめからこの数列を $\lbrace a_n\rbrace$ として考える。
    • 数列の有界な開被覆 $\bigcup I_n$を何かをとって $I \subset \bigcup I_n$ とできる。
    • $f$ の連続性から $f(I) \subset \bigcup f(I_n)$ も有界である。
  • 第 13 問：有界数列が収束する部分列をもつ→閉区間で定義された連続関数が一様連続である。
    • 上の解答が外れていなければ、本問も解けるはず（わからない）。

  • 第 14 問：$f(x)$ が $[a, \infty)$ で連続であるとき、

    \[\lim_{x\to\infty}f(x+1) - f(x) = l \rightarrow \lim_{x\to\infty}\dfrac{f(x)}{x} = l.\]

  • 第 15 問：連続関数 $f(x)\colon [a, b] \longrightarrow \R$ が次を満たす：

    \[\forall x \in {[a, b]} \forall y \in {[a, b]}\ f\left(\!\frac{x + y}{2}\!\right) = \frac{f(x) + f(y)}{2}.\]

    このとき $f(x)$ は $x$ の一次式である。

    • ヒントに従い一次式 $g(x)$ を $g(a) = f(a), g(b) = f(b)$ となるものを構成する。
    • ここからがわからない。計算問題？

  • 第 16 問：$P_k(x)$ が多項式のとき：

    \[\forall x \in \R \sum_{k = 0}^n P_k(x)\mathrm{e}^{(n - k)x} = 0 \leftrightarrow P_k(x) \equiv 0.\]
    • 数学的帰納法で示すのがよいと思われる。
    • ヒントにあるように $\displaystyle \forall a > 1 \forall k > 0 \lim_{x\to\infty}\frac{a^x}{x^k} = \infty$ を使って、 多項式が恒等的にゼロである必要があることを主張する。
  • 第 17 問：$a_n > 0, a_n \to \alpha (n \to \infty) \rightarrow \sqrt[n]{a_1 a_2 \dotsb a_n} \to \alpha (n \to \infty)$
    • これはいい。対数をとって第 1 章の和の級数の結果を利用することで示せる。
  • 第 18 問：$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$
    • ヒントが与えられているが、わからない。
  • 第 19 問：$a > 0$ のとき $\displaystyle \lim_{n\to\infty} n(\sqrt[n]{a} - 1) = \log{a}$
    • 少し考えたがわからない。
  • 第 20 問：$\cos{n\theta}$ と $\sin{n\theta}$ を $\cos\theta$ と $\sin\theta$ の多項式として表す公式
    • 三角関数の加法定理しか実質的に使わないでできるか？