小平邦彦著『岩波講座基礎数学 解析入門 IV』問題集の未解決項目を調査、再挑戦する。

  • 第 31 問 (v)
    • $\tan{x/2} = t$ という置換積分による。
    \[\newcommand{\dd}[1]{\,\mathrm d{#1}} \begin{aligned} \int\! \frac{1}{\cos x + a} \dd{x} &= \int\! \cfrac{1}{\cfrac{1 -t^2}{1 + t^2}+a}\frac{2}{1+t^2}\dd t\\ &= \int\! \frac{2}{1 -t^2+a(1+t^2)}\dd{t}\\ &= \int\! \frac{2}{(a - 1)t^2 + (a + 1)}\dd{t}\\ &= \frac{2}{a - 1} \int\! \cfrac{\dd{t}}{t^2 + \cfrac{a+1}{a-1}}\\ &= \frac{2}{a - 1} \sqrt{\frac{a-1}{a+1}}\operatorname{Arctan}{\sqrt{\frac{a-1}{a+1}} x} + C. \end{aligned}\]
  • 第 37 問：Jensen の不等式（定積分版）
    • https://math.stackexchange.com/questions/171599/jensens-inequality-for-integrals
    • 教科書の凸関数の不等式は Jensen の不等式と呼ばれているものだ。

    • $\varphi(y)$ は凸関数なので、$\varphi’(y)$ は非減少。ゆえに

      \[\forall y_0 \in f({[a, b]}) \forall y \ne y_0 \exists \Phi \left(\Phi \le \frac{\varphi(y) - \varphi(y_0)}{y - y_0}.\right)\]
    • リンク先の議論とまったく同じ。$y = f(x), \displaystyle \dfrac{1}{b - 1}\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x$ を代入して展開する。
  • 第 40 問：Raabe の判定法
    • https://math.stackexchange.com/questions/631348/proof-of-raabes-test
    • ノーヒントで解けないようでは学習不足が過ぎると痛感した。
    • 何はさておき極限値を $L$ などと置く。比の比較判定法に持ち込む。
    • $\varepsilon$ のとり方にコツがある。

    • 教科書と分母分子が逆なのでそこは注意。反対側の不等式を採用すればいい。収束性だけ評価を記す：

      \[\begin{aligned} \frac{b_n}{b_{n+1}} &= \left(\!1 + \frac{1}{n}\!\right)^p\\ &= 1 + \frac{p}{n} + O\!\left(\!\frac{1}{n^2}\!\right)\\ & \le 1 + \frac{L - \varepsilon}{n}\\ & < \frac{a_n}{a_{n+1}}. \end{aligned}\]
  • 第 41 問：忘れた
    • この判定法を用いることになる（手許にテキストがないのでうろおぼえ）： \(\begin{aligned} \lim_{n \to \infty}\frac{a_n}{a_{n+1}} &= \lim_{n \to \infty} \frac{(a + n)!}{(b + n)!}\frac{(b + n + 1)!}{(a + n + 1)!}\\ &= \lim_{n \to \infty} \frac{b + n + 1}{a + n + 1}\\ &\to \frac{b}{a}.\\ \end{aligned}\)

    定数 $a, b$ の仮定を忘れたが、$b > a > 0$ ならば収束、$a > b > 0$ ならば発散する。