小平邦彦著『岩波講座基礎数学 解析入門 III』『IV』より。 引き続き問題を解く。多変数の微分積分。

  • 第 46 問：二変数関数が領域で最大値をとるための必要条件
    • 領域 $D$ は $\R^2$ のものとする。
    • 関数 $f(x, y)$ は $D$ 上 $C^1$ 級であるとする。
    • 点 $(x_0, y_0) \in D$ で関数が最大値をとる。

    このとき $f_x(x_0, y_0) = f_y(x_0, y_0) = 0$ であることを示せ。

    • $\forall h > 0\quad f(x_0 + h, y_0) < f(x_0, y_0)$ であるから、 $\forall h > 0\quad f(x_0 + h, y_0) - f(x_0, y_0) < 0.$

    • 同様に $\forall h > 0\quad f(x_0, y_0) - f(x_0 - h, y_0) < 0.$ したがって、次のことが同時に成り立つ：

      \[\def\diff#1{ \lim_{h \to +0}\frac{f(x_0 {#1}, y_0) - f(x_0, y_0)}{h}} \begin{aligned} \diff{+h} \le 0,\\ \diff{-h} \ge 0. \end{aligned} \\ \therefore f_x(x_0, y_0) = 0.\]
    • $f_y(x_0, y_0)$ についても同様のことがいえる。よって主張が成り立つ。
  • 第 47 問：二変数関数 $f(x, y) = \dfrac{x + y}{x^2 + y^2 + 1}$ の最大最小を計算しろ。

    • 極座標変換をすると見通しが良くなる：

      \[\begin{aligned} f(r\cos t, r\sin t) &= \frac{r \cos t + r \sin t}{r^2 + 1}\\ &= \frac{r}{\sqrt{2}(r^2 + 1)}\sin \left(t + \frac{\pi}{4}\right)\\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}g(r)h(t).\\ \\ g'(r) &= \frac{-r^2 + 1}{(r^2 + 1)^2}\\ &= \frac{(1 - r)(1 + r)}{(r^2 + 1)^2}. \end{aligned}\]
      • $r \in {[0, \infty)}$ とおくと $g(1) = \dfrac{1}{2}$ が極大値である。 また、グラフを描くことで $g(0) = 0$ が最小値をとることがわかる（しかしこちらは使わない）。
      • $h(t)$ のほうは一目瞭然で、$t = \dfrac{\pi}{4}, -\dfrac{3\pi}{4}$ のときにそれぞれ極大、極小となる。

    • これらの値を組み合わせて、$f$ の最大値と最小値を得る：

      \[\begin{aligned} f\left(\frac{1}{2}\cdot 1, \frac{1}{2}\cdot 1\right) &= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1\\ &= \frac{1}{2 \sqrt{2}},\\ f\left(\frac{1}{2}\cdot -1, \frac{1}{2}\cdot -1\right) &= \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} \cdot -1\\ &= -\frac{1}{2 \sqrt{2}}.\\ \end{aligned}\]
  • 第 48 問：二変数関数の Taylor 展開とその収束域
    • 関数 $f(x, y) = \dfrac{1}{1 - xy}$ を領域 $D \in \R^2$ で定義されたものとする。原点で展開したときの収束域を求めろ。
    • 偏微分が面倒すぎてギブアップ。次のものは計算できたが、その後が大変だろう。 \(\begin{aligned} \frac{\partial^m}{\partial x^m} &= \frac{m!\:y^m}{(1 - xy)^{2m - 1}},\\ \frac{\partial^n}{\partial y^n} &= \frac{n!\:x^n}{(1 - xy)^{2n - 1}}. \end{aligned}\)
  • 第 49 問： $\displaystyle \int_0^\infty \frac{1 - \cos^2x}{x^2}\,\mathrm{d}x = \frac{\pi}{2}$ を利用して $\displaystyle \int_0^\infty \frac{\sin^2 x}{x^2}\,\mathrm{d}x$ を求めろ。

    • サービス問題だ。半角・倍角の公式を思い出すだけでいい。

      \[\def\d#1{\,\mathrm{d}{#1}} \def\i{\int_0^\infty\!} \begin{aligned} \i \frac{\sin^2 x}{x^2} \d{x} &= \i \frac{1 - \cos^2 2x}{2x^2} \d{x}\\ &= \i \frac{1 - \cos^2 2x}{(2x)^2}\cdot 2 \d{x}\\ &= \i \frac{1 - \cos^2 t}{t^2} \d{t}\\ &= \frac{\pi}{2}. \end{aligned}\]