小平邦彦著『岩波講座基礎数学 解析入門 III』『IV』より。

  • 第 58 問：二重級数の収束判定

    \[\sum_{m, n = 1}^\infty \frac{1}{(m^2 + n^2)^s}\]

    これに対応する重積分を吟味すればよい。領域 $D$ を座標平面第一象限の「原点まわりを回避した右上」部分として、次の積分を検討する：

    \[\begin{aligned} \iint_D\! \frac{1}{(x^2 + y^2)^s}\,\mathrm{d}x &= \int_0^{\pi/2}\!\mathrm{d}\theta\int_1^\infty\!\frac{r}{r^{2s}}\,\mathrm{d}r\\ &= \frac{\pi}{2}\int_1^\infty\!\frac{\mathrm{d}r}{r^{2s - 1}}\\ &= \begin{cases} [\log{r}]_1^\infty = \infty, & s = 1,\\ \left[\frac{r^{2 - 2s}}{2 - 2s}\right]_0^\infty,& s \ne 1, \end{cases} \end{aligned}\]

    分数になるケースでは指数 $2 - 2s$ の値が $1$ を超えるときに限り発散する。 すなわち、この積分は $s \le 1$ のとき発散、$s > 1$ のとき収束する。 これがそのまま級数の収束条件になる。

  • 第 59 問：アステロイドの囲む面積

    \[\def\term#1#2{ \left(\frac{#1}{#2}\right)^{\frac{2}{3}} } K = \left\{(x, y)\,\mid\,\term{x}{a} + \term{y}{b} \le 1\right\},\quad a > 0, b > 0.\]

    本文で affine 変換を学んだので、$a = b = 1$ で計算して、結果を $ab$ 倍してよい。

    \[\def\dx{\mathrm{d}x} \def\dy{\mathrm{d}y} \begin{aligned} \iint_K\!\dx\dy &= \int_{-1}^1\!\dx \int_{-R(x)}^{R(x)}\!\dy,\quad \text{where } R(x) = \left(\!\sqrt{1 - x^\frac{2}{3}}\!\right)^3\\ &= 4 \int_0^1\!\dx \int_0^{R(x)}\!\dy\\ &= 4 \int_0^1\!\frac{R(x)^2}{2}\,\dx\\ &= 2\left[\frac{9}{7}x^{\frac{7}{3}} - \frac{9}{5}x^\frac{5}{3} - \frac{x^3}{3} + x\right]_0^1\\ &= \frac{32}{105}. \end{aligned}\]

    よって元の図形の面積は $\dfrac{32}{105}ab.$

  • 第 60 問：楕円体上の積分

    \[\def\term#1#2{ \frac{#1 ^2}{#2 ^2} } \def\dx{\mathrm{d}x} \def\dy{\mathrm{d}y} \def\dz{\mathrm{d}z} D = \left\{(x, y) \mid \term{x}{a} + \term{y}{b} + \term{z}{c} \le 1, x > 0, y > 0, z > 0\right\},\quad a > 0, b > 0, c > 0,\\ I = \iiint_D\!\frac{xyz}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}\,\dx\dy\dz.\]

    変数変換の指定があるので、そこから進める：

    \[\begin{aligned} x^2 &= a^2 u (1 - v),\\ y^2 &= b^2 uv (1 - w),\\ z^2 &= c^2 uvw. \end{aligned}\]

    これを $u, v, w$ について解くと次のようになるが、そこからの Jacobian の求め方にくせがあるので注意。

    \[\def\term#1#2{ \dfrac{#1 ^2}{#2 ^2} } \begin{aligned} u &= \term{x}{a} + \term{y}{b} + \term{z}{c},\\ v &= \frac{\term{y}{b} + \term{z}{c}}{\term{x}{a} + \term{y}{b} + \term{z}{c}},\\ w &= \frac{\term{z}{c}}{\term{x}{a} + \term{y}{b} + \term{z}{c}.} \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \frac{\partial(x^2, y^2, z^2)}{\partial(u, v, w)} &= \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)}\cdot \frac{\partial(x^2, y^2, z^2)}{\partial(x, y, z)}.\\ \therefore \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(u, v, w)} &= \frac{\partial(x^2, y^2, z^2)}{\partial(u, v, w)}\cdot \frac{\partial(x, y, z)}{\partial(x^2, y^2, z^2)}\\ &= \frac{\partial(u, uv, uvw)}{\partial(u, v, w)}\cdot \left(\frac{\partial(u, uv, uvw)}{\partial(x, y, z)}\right)^{-1}\\ &= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0\\ v & u & 0\\ vw & uw & uv \end{vmatrix} \cdot \def\arraystretch{2.2} \begin{vmatrix} \dfrac{2x}{a^2} & \dfrac{2y}{b^2} & \dfrac{2z}{c^2}\\ 0 & \dfrac{2y}{b^2} & \dfrac{2z}{c^2}\\ 0 & 0 & \dfrac{2z}{c^2}\\ \end{vmatrix}^{-1}\\ &= u^2v \cdot \frac{(abc)^2}{8xyz}. \end{aligned}\]

    以上を用いて積分を書き換える。積分区間の対応に注意。

    \[\def\du{\mathrm{d}u} \def\dv{\mathrm{d}v} \def\dw{\mathrm{d}w} \begin{aligned} I &= \int_0^1\du\int_0^1\dv\int_0^1\! \frac{xyz}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}u^2v \cdot \frac{(abc)^2}{8xyz}\,\dw\\ &= \frac{1}{8}\int_0^1\du\int_0^1\dv\int_0^1\! \frac{u^2v (abc)^2}{\sqrt{???}}\dw\\ \end{aligned}\]

    ここから先がわからない。