小平邦彦著『岩波講座基礎数学 解析入門 IV』より。答え合わせと本日分の問題。

答え合わせ

  • 第 42 問：広義積分は 1 だが 0 に一様収束する関数列の構成
    • 私は折れ線を利用したが、解答例では $C^\infty$ 級関数を提示している。差を見せつけられた。
    • $\displaystyle \int_0^\infty\frac{\mathrm{d}x}{1 + x^2} = \frac{\pi}{2}$ を利用して関数列 $f_n(x) = \dfrac{2}{\pi}\dfrac{n}{x^2 + n^2}$ を挙げている。
  • 第 44 問：級数と無限乗数の一様収束と連続性
    • やり方が全然違う。
    • $\sum f_n(x)$ が区間 $I$ で一様に絶対収束する。このとき $\sum f_n(x)^2$ も一様収束する。
      • と解答例には述べられているのだが、この事実はどこで用いられるのか。
    • $\sum(\log(1 + f_n(x)) - f_n(x))$ は一様に絶対収束する。この式を変形していく。
    • $\sum \log(1 + f_n(x))$ も一様に絶対収束する。つまり $\sum \log(1 + f_n(x)) = \log\prod(1 + f_n(x))$ は $C^0$ 級関数である。
    • ゆえに $\log\prod(1 + f_n(x))$ もまた $C^0$ 級関数である。

  • 第 45 問：二変数関数の連続性、偏微分可能性、微分可能性の確認

    \[f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{x^3 - y^3}{x^2 + y^2},& (x, y) \ne (0, 0),\\ 0,& (x, y) = (0, 0). \end{cases}\]

    原点のみ微分不能であることを示せなかった。定義に基づいて確認していくのがよい。

    \[\def\eps{\varepsilon} \begin{aligned} f(h, k) - f(0, 0) &= h - k + \eps(h, k)\sqrt{h^2 + k^2}.\\ \eps(h, k) &= \frac{hk}{(h^2 + k^2)^{\frac{3}{2}}}. \end{aligned}\]

    $(h, k) \to (0, 0)$ のある方向微分を考えると $\varepsilon(h, k) \to 0$ とはならないことを示せば十分だ。 例えば $m \ne 0$ として：

    \[\def\eps{\varepsilon} \eps(mk, k) = \frac{mk^2}{(m^2k^2 + k^2)^{\frac{3}{2}}} = \frac{mk^2}{k^3(m^2 + 1)^{\frac{3}{2}}} \to \infty \quad (k \to +0).\]
  • 第 47 問：二変数関数 $f(x, y) = \dfrac{x + y}{x^2 + y^2 + 1}$ の最大最小
    • 私は極座標変換を用いたが、そのままでも難しくなかった。

    • 偏微分を求める：

      \[\begin{aligned} f_x(x, y) &= \frac{-x^2 + y^2 - 2xy + 1}{(x^2 + y^2 + 1)^2},\\ f_y(x, y) &= \frac{x^2 - y^2 - 2xy + 1}{(x^2 + y^2 + 1)^2}.\\ \therefore f_x\left(\!\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\!\right) &= f_y\left(\!-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\!\right) = 0.\\ \end{aligned}\]

      以下が最大値と最小値だ（私の自力計算は間違いだった）：

      \[\begin{aligned} f\left(\!\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\!\right) &= \frac{1}{\sqrt{2}},\\ f\left(\!-\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\!\right) &= -\frac{1}{\sqrt{2}}.\\ \end{aligned}\]
  • 第 48 問：関数 $f(x, y) = \dfrac{1}{1 - xy}$ の Taylor 展開および収束域
    • 軽装版ではこの問題が没になっている。相変わらず自力で考えねばならない。

本日分の問題

本日分の問題（第 9 章）をここに記す。

  • 第 67 問：放物線の弧長

    • $y^2 = 4ax \quad (a > 0)$ 上の $(0, 0)$ から $(x, 2\sqrt{ax})$ までの弧長を計算する。

      \[\def\dt{\mathrm{d}t} \def\dx{\mathrm{d}x} \begin{aligned} l(C) &= \int_0^x\!\sqrt{1 + \left(\frac{dy}{dx}\right)^2}\dx\\ &= \int_0^x\!\sqrt{1 + \frac{a}{t}}\dt\\ &= \left[\sqrt{t(a + t)} + a \operatorname{asinh}\sqrt{\frac{t}{a}}\right]_0^x\\ &= \sqrt{x(a + x)} + a \operatorname{asinh}\sqrt{\frac{x}{a}} \end{aligned}\]

  • 第 68 問：パラメーター表示された曲線の弧長

    \[\begin{aligned} \varphi_1(t) &= \begin{cases} 0, & t = 0,\\ t^3 \cos\dfrac{2\pi}{t}, & 0 < t \le 1,\\ \end{cases} \\ \varphi_2(t) &= \begin{cases} 0, & t = 0,\\ t^3 \sin\dfrac{2\pi}{t}, & 0 < t \le 1,\\ \end{cases} \\ P(t) &= (\varphi_1(t), \varphi_2(t), t^2). \end{aligned}\]

    $P(t)$ は $C^1$ 級曲線である。この全長を計算する問題だ。

    \[\def\alpha{ \frac{2\pi}{t} } \def\dt{\mathrm{d}t} \begin{aligned} l(C) &= \int_0^1\!\sqrt{\varphi_1^\prime(t)^2 + \varphi_2^\prime(t)^2 + (2t)^\prime{}^2}\dt.\\ \\ \varphi_1^\prime(t) &= 3t^2\cos\alpha + t^3(-\sin\alpha)(-\frac{2\pi}{t^2})\\ &= 3t^2\cos\alpha + 2\pi t \sin\alpha,\\ \varphi_2^\prime(t) &= 3t^2\sin\alpha + t^3(\cos\alpha)(-\frac{2\pi}{t^2}).\\ &= 3t^2\sin\alpha - 2\pi t \cos\alpha,\\ \\ \therefore l(C) &= \int_0^1\!\sqrt{t^2(9t^2 + 4\pi^2)}\dt\\ &= \left[\frac{9}{5}t^5 + \frac{4\pi^2}{3} t^3\right]_0^1\\ &= \frac{9}{5} + \frac{4\pi^2}{3} \end{aligned}\]

  • 第 69 問：パラメーター表示された曲線の弧長 $P(\theta) = (r(\theta)\cos\theta, r(\theta)\sin\theta)$ の長さ

    \[\def\dtheta{\mathrm{d}\theta} \def\diff{ \frac{\mathrm{d}}{\dtheta} } \def\rparen#1{\left(#1\right)} \begin{aligned} l(C) &= \int_0^{2\pi}\! \sqrt{\rparen{\diff{r(\theta)\cos\theta}}^2 + \rparen{\diff{r(\theta)\sin\theta}}^2}\,\dtheta\\ &= \int_0^{2\pi}\! \sqrt{(r^\prime\cos\theta + r(-\sin\theta))^2 + (r^\prime\sin\theta + r\cos\theta)^2}\,\dtheta\\ &= \int_0^{2\pi}\! \sqrt{r^\prime{}^2\cos^2\theta - 2r^\primer\cos\theta\sin\theta + r^2\sin^2\theta + r^\prime{}^2\sin^2\theta + 2rr^\prime\sin\theta\cos\theta + r^2\cos^2\theta}\,\dtheta\\ &= \int_0^{2\pi}\! \sqrt{r^2 + r^\prime{}^2}\,\dtheta. \end{aligned}\]

    公式を変形するだけで済む。

  • 第 70 問：Cardioid の弧長

    \[r(\theta) = a(1 - \cos\theta)\quad a > 0,\;0 \le \theta \le 2\pi\]

    上の公式に当てはめる。

    \[\def\dtheta{\mathrm{d}\theta} \begin{aligned} r^2 &= a^2(1 - \cos\theta)^2,\\ r^\prime &= a \sin\theta,\\ r^\prime{}^2 &= a^2\sin^2\theta.\\ \\ \therefore l(C) &= \int_0^{2\pi}\!\sqrt{a^2(1 - \cos\theta)^2 + a^2\sin^2\theta}\,\dtheta\\ &= \int_0^{2\pi}\!\sqrt{2a^2 - 2a^2\cos\theta}\,\dtheta\\ &= \sqrt{2}{a} \int_0^{2\pi}\!\sqrt{1 - \cos\theta}\,\dtheta\\ &= \sqrt{2}{a} \int_0^{2\pi}\!\sqrt{2}{|\sin\frac{\theta}{2}|}\,\dtheta\\ &= \sqrt{2}{a} (-2\sqrt{2}) \left[\cos\frac{\theta}{2}\right]_0^{2\pi}\\ &= -4a(\cos\pi - \cos 0)\\ &= 8a. \end{aligned}\]
  • 第 71 問：$(x^2 + y^2)^\frac{1}{3} + z^\frac{2}{3} \le 1$ の表面積
    • 手順は次の通り：

      • パラメーター表示を得る。極座標表示を参考にしてこのようにしてみる：

        \[\begin{aligned} x &= \cos u \cos^3 v,\\ y &= \sin u \cos^3 v,\\ z &= \sin^3 v. \end{aligned}\]

        今のところ曲面の形状がよくわからないので、パラメーターの定義域もわからない。

      • $EG - F^2$ を求める。

        \[\begin{alignedat}{6} x_u &=& -\sin u \cos^3 v, \ & x_v &= -3&\cos u \cos^2 v \sin v,\\ y_u &=& \cos u \cos^3 v, \ & y_v &= -3&\sin u \cos^2 v \sin v,\\ z_u &=& 0, \ & z_v &= 3&\sin^2 v \cos v. \end{alignedat} \\ \begin{aligned} E &= x_u^2 + y_u^2 + z_u^2\\ &= \cos^6v,\\ F &= x_u x_v + y_u y_v + z_u z_v\\ &= -9\sin^2 u \sin^2 v \cos^2 u \cos^{10} v,\\ G &= x_v^2 + y_v^2 + z_v^2\\ &= \frac{9}{8} - \frac{9}{8}\cos 4v.\\ \end{aligned} \\ EG - F^2 = \left(- 81 \sin^{4}{\left(u \right)} \sin^{2}{\left(v \right)} \cos^{4}{\left(u \right)} \cos^{12}{\left(v \right)} + 9\right) \sin^{2}{\left(v \right)} \cos^{8}{\left(v \right)}\]

        なにか無理がある。

      • $\displaystyle \int_D \sqrt{EF - G^2}\,\mathrm{d}u\mathrm{d}v$ を計算する。
      • TODO: 悔しいのでいつか再挑戦する。