小平邦彦著『岩波講座基礎数学 解析入門 IV』章末問題検討ノート。

  • 第 51 問：$\displaystyle \int_0^\infty x^{2n}\mathrm{e}^{-x^2}\,\mathrm{d}x$
    • 解答例では Gauss 積分において $x$ を $\sqrt{t}x$ に置き換えたものを変形している。
    • 私の答案では $(-1)^n$ が余分だった。

  • 第 52 問：$\displaystyle \lim_{t \to \infty}\int_0^\infty f(x)\frac{\sin^2 tx}{tx^2}\,\mathrm{d}x = \frac{\pi}{2}f(0)$

    \[\def\du{ \mathrm{d}u } \def\dx{ \mathrm{d}x } \begin{alignedat}{} \lim_{t \to \infty}\int_0^\infty\!f(x)\frac{\sin^2 tx}{tx^2}\,\dx &= \lim_{t \to \infty}\int_0^\infty\!f\left(\frac{u}{t}\right)\frac{\sin^2 u}{u^2}\,\du && (u = tx;\;\du = t\dx)\\ &= \int_0^\infty\! \lim_{t \to \infty}f\left(\frac{u}{t}\right)\frac{\sin^2 u}{u^2}\,\du\\ &= \int_0^\infty\! f(0) \frac{\sin^2 u}{u^2}\,\du && \text{(!)}\\ &= f(0) \int_0^\infty\!\frac{\sin^2 u}{u^2}\,\du\\ &= \frac{\pi}{2} f(0). \end{alignedat}\]
  • 第 53 問：領域を内側から閉区域の可算個の和集合で表現することについて
    • $\bigcup U_n$ と $\bigcup K_1 \cup \dotsb \cup K_n$ が異なるケースがある。
    • TODO: 図を真似てここに挿れる。
    • 正直、まだ納得できていない。
  • 第 54 問：領域 $K = \lbrace(x, y)\,\vert\,(x - 1)^2 + y^2 \le 1, y \ge 0\rbrace$ で $x^2y$ を積分する
    • 計算間違い。
  • 第 56 問：収束判定 $\displaystyle I = \iint_D\frac{\mathrm{d}x\mathrm{d}y}{(x + y)^s},\;D = \lbrace(x, y) \mid x > 0, y > 0, x + y > 1\rbrace$ は
    • やはり雑にやってはいけなかった。
    • この形の重積分は今度次元を変えて何度か再登場する。したがって基本問題として捉えるべきだ。
    • 変数変換は例えば $x = uv,\;y = v(1 - u)$ として
      • $u \in {(0, 1)}$
      • $v \in {(1, \infty)}$
      • $x + y = uv + v(1 - u) = v$
      • $\mathrm{d}x = v\mathrm{d}u + u\mathrm{d}v$
      • $\mathrm{d}y = -v\mathrm{d}u + (1-u)\mathrm{d}v$
      • \[\frac{\partial(x, y)}{\partial(u, v)} = \begin{vmatrix} v & u\\ -v & 1 - u \end{vmatrix} = v(1 - u) - (-uv) = v > 0\]
      \[\def\du{\mathrm{d}u} \def\dv{\mathrm{d}v} \begin{aligned} I &= \int_0^1\!\du\int_1^\infty v^{-s} v\dv\\ &= \frac{1}{2}\int_1^\infty v^{1-s}dv. \end{aligned}\]

      よって $1 - s < -1$ すなわち $s > 2$ のとき収束、$s \le 2$ のとき発散。

  • 第 57 問：二重級数の収束判定
    • 本問は軽装版ではボツ。上の問題と同じだからだろう。

  • 第 58 問：二重級数の収束判定

    \[\sum_{m, n = 1}^\infty \frac{1}{(m^2 + n^2)^s}\]

    これも没になった。連続没とは。