小平邦彦著『岩波講座基礎数学 解析入門 IV』答え合わせ等のメモ。 きのうの続きを記す。

  • 第 59 問：つぶれたアステロイドの面積

    • 敗因：座標変換が未知のものだった。

      \[(r, \theta) \longmapsto (ar\cos^3\theta, br\sin^3\theta)\]

    • Jacobian を計算する：

      \[\begin{aligned} \frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} &= \begin{vmatrix} a\cos^3\theta & -3ar\cos^2\theta\sin\theta\\ b\sin^3\theta & 3br\sin^2\theta\cos\theta \end{vmatrix}\\ &= 3abr\sin^2\theta\cos^4\theta + 3abr\sin^4\theta\cos^2\theta\\ &= 3abr\sin^2\theta\cos^2\theta \quad (\ge 0). \end{aligned}\]

    • 求める積分は：

      \[\def\dx{\mathrm{d}x} \def\dy{\mathrm{d}y} \def\dr{\mathrm{d}r} \def\dt{\mathrm{d}\theta} \begin{aligned} \iint_D\!\dx\dy &= \int_0^1\!\dr \int_0^{2\pi}\! 3abr\sin^2\theta\cos^2\theta\,\dt\\ &= 3ab \int_0^1\! r\,\dr \int_0^{2\pi}\! \sin^2\theta\cos^2\theta\,\dt\\ &= 3ab \cdot \frac{1}{2} \left[\frac{\theta}{8} - \frac{\sin{2\theta}\cos{2\theta}}{16}\right]_0^{2\pi}\\ &= \frac{3ab}{2}(\frac{\pi}{4} - 0)\\ &= \frac{3\pi ab}{8}. \end{aligned}\]
  • 第 60 問：楕円体上の関数の積分
    • 敗因：根気不足。Jacobian の計算までは順調だった。平方根のある式をヒラッコで 3 回積分する根性がない。

    • 変数変換後の積分を記す：

      \[\def\du{\mathrm{d}u} \def\dv{\mathrm{d}v} \def\dw{\mathrm{d}w} \begin{aligned} I &= \frac{(abc)^2}{8} \iiint_E\!\frac{u^2v \du\dv\dw}{\sqrt{a^2u + (b^2 - a^2)uv + (c^2 - b^2)uvw}}\\ &= \frac{(abc)^2}{8} \frac{2}{c^2 - b^2} \int_0^1\! u^2\,\du \int_0^1\! \frac{v}{uv} \left[\sqrt{(c^2 - b^2)uvw + (b^2 - a^2)uv + a^2u}\right]_{w=0}^{w=1} \,\dv\\ &= \frac{(abc)^2}{8} \frac{2}{c^2 - b^2} \int_0^1\! u\sqrt{u}\,\du \int_0^1\! (\sqrt{(c^2 - a^2)v + a^2} - \sqrt{(b^2 - a^2)v + a^2}) \,\dv\\ &= \frac{(abc)^2}{8} \frac{2}{c^2 - b^2} \cdot \frac{2}{5} \int_0^1\! \frac{2}{3}\left[\frac{((c^2 - a^2)v + a^2)^{\frac{3}{2}}}{c^2 - a^2} - \frac{((b^2 - a^2)v + a^2)^\frac{3}{2}}{b^2 - a^2}\right]_{v=0}^{v=1} \,\dv\\ &= \frac{(abc)^2}{15(c^2 - b^2)} \left(\frac{c^3 - a^3}{c^2 - a^2} - \frac{b^3 - a^3}{b^2 - a^2}\right)\\ &= \frac{(abc)^2}{15 (c^2 - b^2)}\left( \frac{c^2 + ca + a^2}{c + a} - \frac{a^2 + ab + b^2}{a + b}\right)\\ &= \frac{(abc)^2 (ab + bc + ca)}{15(a + b)(b + c)(c + a)}. \end{aligned}\]