高崎金久著『常微分方程式』（日本評論社）ノートその二。

積分可能条件とその応用

§3.1 微分形式

  • 微分形式とは $f(x, y)\,\mathrm dx + g(x, y)\,\mathrm dy$ だとか $h(x, y)\,\mathrm dx \wedge \mathrm dy$ のようなものをいう。
    • コメント：昔微分幾何で微分形式のほうを先に学んだので、このへんは流す。

  • 関数 $\phi(x, y)$ の全微分 $\mathrm d\phi$ とは、次の 1-form をいう：

    \[\mathrm d\phi = \frac{\partial \phi(x, y)}{\partial x}\,\mathrm dx + \frac{\partial \phi(x, y)}{\partial y}\,\mathrm dy.\]

  • 完全微分とは全微分の形をした 1-form である。 次の方程式において、右辺から見た左辺の $\phi$ を potential と呼ぶということだ。

    \[\mathrm d\phi = f(x, y)\,\mathrm dx + g(x, y)\,\mathrm dy.\]
  • 2-form 以上の微分形式に現れる演算子 $\wedge$ を外積と呼ぶ。
    • 二つの微分形式に対して二項演算として作用し、新たな微分形式を定義できる。
  • 外微分 $\mathrm d$ は本書では関数と 1-form に対してしか考えないようだ。
    • 関数に対する外微分は全微分で定義される。
  • 閉形式
    • 微分形式 $\omega$ が $\mathrm d\omega = 0$ を満たすならば、$\omega$ は potential を有する。 このような $\omega$ を閉形式と呼ぶ。
  • 完全形式
    • 微分形式 $\omega$ に対して $C^1$ 級関数 $\phi$ が存在して $\mathrm d\phi = \omega$ をみたすとき、$\omega$ は完全形式であるという。
    • 1-form の完全形式は閉形式でもある。本文では言及していないが $\mathrm d \circ \mathrm d = 0$ が常に成り立つことに注意。
  • 線積分
    • 1-form $\omega = f(x, y)\,\mathrm dx + g(x, y)\,\mathrm dy$
    • 関数 $\phi(x, y)$ は $\omega$ の potential である。
    • 関数 $u, v \colon {[c_0, c_1]} \longrightarrow \R$
    • 平面曲線 $C = \lbrace (u(t), v(t))\,\mid\, t \in {[c_0, c_1]}\rbrace$

    このとき $C$ 上の線積分を次で定義する：

    \[\begin{aligned} \int_C\!\omega = \int_C\!\mathrm d\phi &\coloneqq \int_{c_0}^{c_1}\!\left(\frac{\partial \phi}{\partial x} \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} + \frac{\partial \phi}{\partial y} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right)\,\mathrm dt\\ &= \int_{c_0}^{c_1}\!\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}t}\\ &= \phi(u(c_1), v(c_1)) - \phi(u(c_0), v(c_0)). \end{aligned}\]
    • 両端点が一致する曲線上の線積分は、値はすべて等しい。

  • 面積分

    • 2-form $\omega = f(x, y)\,\mathrm dx \wedge \mathrm dy.$
    • 領域 $\varOmega \subset \R^2.$

    このとき 2-form $\omega$ の領域 $\varOmega$ 上の面積分を次で定義する：

    \[\int_\varOmega\!\omega = \int_\varOmega\!f(x, y)\,\mathrm dx \wedge \mathrm dy \coloneqq \int_\varOmega\!f(x, y)\,\mathrm dx \mathrm dy.\]
    • コメント：微分積分で習った重積分の変数変換のときの Jacobian の意味がよく馴染む。
  • Green の定理
    • 有界領域 $\varOmega \in \R^2$
    • 1-forn $\omega$ が $\varOmega$ 上およびその境界上定義されているとする。

    このとき、次の等式が成り立つ：

    \[\int_{\partial\varOmega}\!\omega = \int_\varOmega\!\mathrm d\omega.\]
    • コメント：あえて Stokes の定理の形に記しておいた。 教科書の形にしたければ $\omega = f(x, y)\,\mathrm dx + g(x, y)\,\mathrm dy$ などと表して、 $\mathrm d\omega$ を書き下せばいい。

  • ここまで理論を進めれば、前章の potential の定義に線積分を採用できる。経路が自由なところが重要だ。

    \[\phi(x, y) = \int_C\!(f(x, y)\,\mathrm dx + g(x, y)\,\mathrm dy).\]

§3.2 全微分方程式

  • 1-form イコールゼロの形の ODE を全微分方程式、Pfaff 方程式と呼ぶ。

  • 1-form $\omega = f(x, y)\,\mathrm dx + g(x, y)\,\mathrm dy$ の解曲線 a.k.a. 積分曲線とは、平面曲線 $(x, y) = (u(t), v(t))$ であって、次の関係が成り立つものを言う：

    \[f(u(t), v(t))\frac{\mathrm{d}u(t)}{\mathrm{d}t} + g(u(t), v(t))\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t} = 0.\]
  • 幾何学的意味を考える。 解曲線の $t$ における「速度ベクトル」は接ベクトルになり、ベクトル場 $X = (f(x, y), g(x, y))$ と直交する。 このことは、上記等式の左辺を内積の形に読み取れば理解できる。
  • 全微分方程式では独立変数と従属変数の別がない。
  • 以後、完全微分形 1 階 ODE といえば、全微分方程式の形で書いたもの、すなわち $\mathrm d\omega = 0$ の形のものをいうことにする。
  • この ODE の解曲線は potential $\phi$ の等高線で与えられる。
    • なぜそうなるかは、合成関数の導関数が chain rule で求まることと関係がある。

  • 勾配ベクトル場 $(\phi_x, \phi_y)$ と等高線（の交点における接ベクトル）は直交する：

    \[\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\phi(u(t), v(t))}{\mathrm{d}t} = 0 & \iff \phi_x(u, v)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t} + \phi_y(u, v) \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0\\ & \iff (\nabla\phi) \cdot \left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}, \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right) = 0\\ & \iff (\nabla\phi) \perp \left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}, \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right). \end{aligned}\]
  • Hamilton ベクトル場の話は疲れているので飛ばす。
  • 積分因子
    • $f(x, y)\,\mathrm dx + g(x, y)\,\mathrm dy$ が閉形式でなくても、ここに関数 $h(x, y) \neq 0$ をかけたものが閉形式になることがあり得る。 このような $h$ を積分因子と呼ぶ：$h(x, y)(f(x, y)\,\mathrm dx + g(x, y)\,\mathrm dy)$ が求積可能である。
    • ただし、元の ODE を解くことよりも積分因子を求めることのほうが一般的には難しい。特別な場合にできると言っていると思うのがよい。 本書の例 3.6, 3.7, 3.8 を参照。

§3.3 調和関数、共役調和関数、正則関数

  • Laplace 方程式とは、次の形の PDE をいう：

    \[\frac{\partial ^2\phi}{\partial x_1^2} + \dotsb + \frac{\partial ^2\phi}{\partial x_n^2} = 0.\]
  • 調和関数とは、ある Laplace 方程式の解となる関数のことである。
  • Laplace 方程式は、2 変数の場合が興味深い。

  • 共役調和関数とは、ある調和関数に付随する調和関数のことをいう。 例えば、調和関数 $\psi(x, y)$ が調和関数 $\phi(x, y)$ の共役であるとは、次が成り立つことをいう：

    \[\psi_x(x, y) = -\phi_y(x, y),\quad \psi_y(x, y) = \phi_x(x, y).\]
    • 逆に見ると、$\phi$ は $-\psi$ の共役である。
    • 上記連立 PDE を Cauchy-Riemann 方程式という。
  • 幾何学的意味を考える。CR 方程式より直ちに $\nabla\phi \cdot \nabla\psi = 0$ が言える。 よって $\phi, \psi$ の勾配ベクトル場同士は直交する。等高線同士も直交する。
  • CR 方程式は複素関数論で正則関数を扱っているときに現れる。 言い換えると、実部と虚部がそれぞれ $\phi, \psi$ であるような複素関数は正則であるという。

  • 複素共役に関する微分というものを導入する：

    \[\frac{\partial f(z)}{\partial \bar z} \coloneqq \frac{1}{2}\left(\frac{\partial f(z)}{\partial x} + \frac{\partial f(z)}{\partial y}i\right)\]

    このとき、$f$ が正則であることと、$\dfrac{\partial f}{\partial \bar z} = 0$ は同値である。

  • 多項式ベースの正則関数を作る過程で調和関数とその共役との対が次々に得られる。
  • $\mathrm{e}^z$ の話は微分積分で学んだものなので飛ばす。

以上。