高崎金久著『常微分方程式』（日本評論社）ノートその八。目標は Hamilton 系の理解。

第 4 章 求積可能な力学の方程式（続き）

§4.3 例：線形斥力の下での運動方程式

コメント：前節の逆 potential を考えるようだ。こういう運動は実在するのか。

\[\begin{aligned} U(x) &= -\dfrac{k}{2}x^2,\quad (k > 0),\\ m \dfrac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} &= kx. \end{aligned}\]

いつものように $H = E$ を解くとこうなる：

\[\pm\int\!\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{2E + kx^2}}\,\mathrm dx = t + C.\]

被積分関数の分母が場合分けを要求しているので、そうする。

  • $E > 0$ の場合

    \[\begin{aligned} &\pm\sqrt{\frac{m}{k}}\operatorname{arcsinh}\sqrt\frac{k}{2E}x = t + C.\\ &\therefore x = \pm A \sinh(\omega t + C). \end{aligned}\]

    • コメント：微分積分の復習：

      \[\int\!\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2 + 1}} = \operatorname{arcsinh}x + C.\]
    • $A$ および $\omega$ は前節のものと同じ値だ。
    • $\pm$ は物体の位置が $+\infty \to -\infty$ または $-\infty \to \infty$ であることを示唆する。

    • 双曲線関数の加法定理を用いると次の形に表せる：

      \[x = C_1 \operatorname{arcsinh} \omega t + C_2 \operatorname{arccosh} \omega t.\]

  • $E < 0$ の場合

    • コメント：微分積分の復習：

      \[\int\!\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2 - 1}} = \begin{cases} \operatorname{arccosh}x + C,\quad x \ge 1\\ \operatorname{arccosh}(-x) + C, \quad x \le -1. \end{cases}\]
      • コメント：$\operatorname{arccosh}$ は変なグラフなのでこういう扱いになる。

    • それを踏まえて $H = E$ を解く：

      \[\begin{aligned} &\pm\sqrt{\frac{m}{k}}\operatorname{arccosh}\sqrt{\frac{k}{-2E}}x = t + C.\\ &\therefore x = \pm A \operatorname{arccosh}(\omega t + C). \end{aligned}\]
      • ここで $\displaystyle A = \sqrt{\frac{-2E}{k}} > 0, \quad \omega = \sqrt\frac{k}{m}.$
      • コメント：双曲線関数のグラフを脳内で想像できないと、運動の様子も想像できない。
      • コメント：微分方程式を解いて $x = \dots$ の形に解を求めたが、グラフを考えるときは陰関数であったことを意識するとよさそうだ。 この場合は $t$ 軸に関して対称形の曲線が描ける。
      • $t = \pm\infty$ では $x = \infty$ に物体が位置する。 $t = 0$ において $x = A$ に位置し、かつこの時点で速度が一瞬ゼロになる。 それから再び、元々いたであろう無限の彼方を目指して加速する。

      • 加法定理により次の形に書ける：

        \[x = C_1 \operatorname{arcsinh}\omega t + C_2 \operatorname{arccosh}\omega t.\]

  • $E = 0$ の場合

    \[\begin{aligned} &\pm\int\!\sqrt{\frac{m}{k}}\frac{1}{x}\,\mathrm dx = t + C.\\ &\therefore x = \pm\mathrm{e}^{\pm(\omega t + C)}. \end{aligned}\]
    • この場合は複号はすべての組み合わせを取り得る。
    • $t \to -\infty$ および $t \to \infty$ のようすをこの 4 パターンで調べると、物体の運動がつかめる。
    • コメント：いずれも指数関数なので、$x$ は原点から無限遠点までの間を単調に運動する。

§4.4 例：振り子の運動方程式

コメント：高校物理とは違い、いきなり $\sin\theta \approx \theta$ とはしない。

\[l\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2} = -g\sin\theta.\]
  • $l > 0$ は支点からおもりまでの長さ、$g > 0$ は重力加速度、$\theta$ は鉛直線からの偏角とする。

  • これを次のように正規形に書き換え、一部定数を置き直す：

    \[\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2} = -a\sin\theta,\quad a = \frac{g}{l}.\]

  • 少し工夫して potential を次のように置く（初期値がわかりやすくなる）：

    \[U(\theta) = a(1 - \cos\theta).\]

  • 運動方程式と第一積分は次のようになる：

    \[\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2} = -\frac{\mathrm{d}U(\theta)}{\mathrm{d}t},\quad H = \frac{1}{2}\!\left(\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}\right)^2 + a(1 - \cos\theta).\]

  • $H = E$ を解く。$U(\theta) \ge 0$ としたので $E \ge 0$ が必要であることに注意。

    \[\begin{aligned} &\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = \pm\sqrt{2E - 2a(1 - \cos\theta)}.\\ \therefore&\pm\int\!\frac{\mathrm d\theta}{\sqrt{2E + 2a(1 - \cos\theta)}} = t + C. \end{aligned}\]
  • $0 < E < 2a$ の場合
    • このケースがふつうの振り子の運動を表す。ただし積分を初等関数で表せない。
    • グラフを描くとき、$E \ll 2a$ ならば $\sin\theta \approx \theta$ ゆえ、プロットは正弦曲線に近いものになる。 周期は $E$ に従って長くなる。
  • $E = 2a$ の場合
    • 無限時間をかけて真上から一周して真上へ運動する。これは求積可能。
  • $2a < E$ の場合
    • 大車輪のごとく永遠に回り続ける。これも積分を初等関数で表せない。

$E \ne 2a$ の場合の積分を考える。

\[\begin{aligned} &\quad \int\!\frac{\mathrm d\theta}{\sqrt{2E + 2a(1 - \cos\theta)}}\\ &= \int\!\frac{\mathrm dx}{\sqrt{(2E - 4ax^2)(1 - x^2)}}, \quad\left(x = \sin\frac{\theta}{2},\quad \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta} = \frac{1}{2}\sqrt{1 - x^2}\right),\\ &= \sqrt{\frac{2}{E}}\int\!\frac{\mathrm dx}{\sqrt{(1 - k^2x^2)(1 - x^2)}}, \quad\left(k = \sqrt{\frac{2a}{E}}\right). \end{aligned}\]

最終行の積分を $u(x)$ とする。この逆関数 $u ^{-1}(x)$ を Jacobi の楕円関数といって、$\operatorname{sn}(x)$ で表す。

  • 不完全楕円積分とは、3 または 4 次の多項式 $P(x)$ の平方根の逆数の不定積分として表されるものをいう：

    \[\int\!\frac{\mathrm dx}{\sqrt{P(x)}}.\]
  • 楕円関数とは、不完全楕円積分の逆関数をいう。
    • Jacobi の楕円関数は楕円関数の一種である。

  • これを使えば、振り子の運動は $k \ne 0, 1$ のときは次の形に書ける：

    \[\theta = 2 \arcsin\!\left(\!\operatorname{sn}\!\left(\pm\sqrt{\frac{E}{2}}t + C\right)\!\right).\]

  • $k = 0$ のときは $\operatorname{sn}$ の部分は $\sin$ になる：

    \[\begin{aligned} \theta &= 2 \arcsin(\sin(\pm\sqrt{X}t + C))\\ &= \pm 2\sqrt{X} + C. \end{aligned}\]

    結局、等角速度速運動になる。

  • $k = 1$ のときは：

    \[\begin{aligned} u(x) &= \int\!\frac{\mathrm dx}{1 - x^2}\\ &= \frac{1}{2}\log\left\lvert \frac{1 + x}{1 - x}\right\rvert + C. \end{aligned} \\ \begin{aligned} \operatorname{sn}(t) &= \frac{\mathrm{e}^{2t} - 1}{\mathrm{e}^{2t} + 1}\\ &= \operatorname{arctanh}t. \end{aligned} \\ \begin{aligned} \therefore \theta &= 2 \arcsin (\tanh(\pm\sqrt{a}t + C)).\\ \therefore x &= \tanh(\pm\sqrt{a}t + C) \quad (\because E = 2a). \end{aligned}\]

    $t \to \pm\infty$ を考えると、おもりが大車輪運動をすることがわかる。

長くなったので §4.5 以降は別ページ。