本エントリーでは同次形微分方程式の変種および Clairaut 型微分方程式の解法を記す。

一次式の有理式

次の形の常微分方程式の解法についてノートをとっておく：

\[y^\prime = f\!\left(\frac{ax + by + p}{cx + dy + q}\right).\]

$p = 0 \land q = 0$ の場合

分母分子を $x$ で割ると $\dfrac{y}{x}$ の関数の形になり、通常の同次形に帰着する。

$p \ne 0 \lor q \ne 0$ の場合

このときは $ad - bc$ の値で場合分けを考えることになる。

$ad - bc \ne 0$ の場合

独立変数 $u$ およびそれを独立変数にとる従属変数 $v = v(u)$ を次のように導入する：

\[\begin{aligned} x &= u + h,\quad h \in \R,\\ y &= v + k,\quad k \in \R. \end{aligned}\]

まず導関数の変換を考える。合成関数の微分を繰り返して次を得る：

\[\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} &= \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}v} \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}u} \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\\ &= 1 \cdot \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}u} \cdot 1\\ &= \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}u}. \end{aligned}\]

このとき $f$ の分母と分子はそれぞれ次に形に書き直される：

\[\begin{aligned} ax + by + p &= au + ah + bv + bk + p\\ &= au + bv + (ah + bk + p),\\ \end{aligned} \\ \begin{aligned} cx + dy + q &= cu + ch + dv + dk + q\\ &= cu + dv + (ch + dk + q).\\ \end{aligned}\]

なので、定数項部分が 0 となるように $h, k$ を決定すれば、前述の通常の同次形に帰着できる：

\[\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}u} = f\!\left(\frac{au + bv}{cu + dv}\right).\]

定数 $h, k$ は次を満たす：

\[\begin{pmatrix} h \\ k \end{pmatrix} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b\\ -c & a \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -p \\ -q \end{pmatrix}.\]

$ad - bc = 0$ の場合

定数項部分を除くと、分子と分母が比例関係にあるような場合ということ。 これはさらに三つの場合に分類する。

$cd \ne 0$ の場合
  • $\lambda = \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}$　とおく。
  • $u = cx + dy$ と置換する。このとき $ax + by = \lambda(cx + dy) = \lambda u$ ゆえ：
\[\begin{aligned} u^\prime &= c + dy^\prime\\ &= c + d f\!\left(\frac{ax + by + p}{cx + dy + q}\right)\\ &= c + d f\!\left(\frac{\lambda u + p}{u + q}\right)\\ \end{aligned}\]

いちおう変数分離型とみなせる（積分するのはたいへんそうだが）。

$ab \ne 0$ の場合

上述の場合と分母分子が入れ替わるような感じになり、やはり変数分離型に帰着させて解く。

  • $\dfrac{1}{\mu} = \dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{d}$ とおく。
  • $u = ax + by$ と置換する。
\[\begin{aligned} u^\prime &= b + cy^\prime\\ &= b + cf\!\left(\frac{u + p}{\mu u + p}\right). \end{aligned}\]
$a = b = c = d = 0$ の場合

導関数が定数となる未知関数は一次関数である：

\[\begin{aligned} y^\prime &= f\!\left(\frac{p}{q}\right)\\ \therefore y &= f\!\left(\frac{p}{q}\right)x + C. \end{aligned}\]

Clairaut 型

Lagrange 型の特殊な場合であり、解法も似ているがこちらを先に習うのもいい。

\[y = xy^\prime + \varphi(y^\prime)\]

$p = y^\prime$ とおいて考えることが多い。

与えられた微分方程式をさらに $x$ で微分する：

\[\begin{aligned} &y^\prime = y^\prime + xy^{\prime\prime} + \varphi^\prime(y^\prime)y^{\prime\prime}.\\ \iff & xp^\prime + \varphi^\prime(p) p^\prime = 0.\\ \iff & (x + \varphi^\prime(p))p^\prime = 0.\\ \iff & p^\prime = 0 \lor x + \varphi^\prime(p) = 0. \end{aligned}\]

$p^\prime = 0$ に注目して一般解を得る

二度積分して $y = c_1 x + c_2$ を得る。$c_1, c_2$ は積分定数。

この直線と元の微分方程式を連立させて $p = y^\prime$ を消去すると

\[y = c_1 x + \varphi(c_1)\]

を得る。これは一般解である。

$x + \varphi^\prime(p) = 0$ に注目して特異解を得る

この式と元の微分方程式を連立させてみると、$p$ をパラメーターとする曲線とみなせる：

\[\begin{cases} x = -\varphi^\prime(p)\\ y = xp + \varphi(p) \end{cases}\]

これを特異解という。

  • 一般解のグラフは特異解の曲線の包絡線となっている。
  • パラメーター表示からパラメーター$p$ を消去すれば陰関数表示を得る。

以上