『新訂解析学』学習ノート Part 2
熊原啓作著『新訂解析学』の学習ノート第二回。
一次分数変換
コメント：先に群論の入門部分を学習しておくとよい。
一次分数変換
\[w = f(z) = \frac{\alpha z + \beta}{\gamma z + \delta},\quad \alpha\delta - \beta\gamma \ne 0.\]-
このような関数 $f$ 全体の集合 $G$ は、関数の合成を演算とする群をなす。 恒等写像もこの条件を満たし、$f^{-1}$ もこの形になり $G$ に含まれる。 これを一次分数変換群などと呼ぶ。
- 複素平面上の平行移動、回転移動、相似変換、反転、対称移動は一次分数変換として表せる。
- 平行移動は $z \longmapsto z + \mu$ の形をしている。
- 平行移動を表す変換の集合は $G$ の部分群になり $(\Complex, +)$ と同型。
- 回転・相似変換は $z \longmapsto \lambda z \quad (\lambda \ne 0)$ の形。
- 回転移動と相似変換（とそれらの合成）からなる変換の集合も部分群であり $(\Complex^\times, \cdot)$ と同型。
- 反転・対称変換は $z \longmapsto \dfrac{1}{z}$ である。
-
そして、$\forall f \in G$ はこれらの合成で表現される：
\[\frac{\alpha z + \beta}{\gamma z + \delta} = \begin{cases} \dfrac{\alpha}{\gamma} - (\alpha\delta - \beta\gamma)\dfrac{1}{\gamma z + \delta}, & \gamma \ne 0,\\ \dfrac{\alpha}{\delta} + \dfrac{\beta}{\delta},& \gamma = 0. \end{cases}\]
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$GL(2, \Complex)$ は $G$ と準同型である。ただし単射ではない。
\[\varphi\colon \begin{pmatrix} \alpha & \beta\\ \gamma & \delta \end{pmatrix} \longmapsto \left(z \longmapsto \frac{\alpha z + \beta}{\gamma z + \delta}\right)\] - そこで $GL(2, \Complex)$ の部分群 $SL(2, \Complex)$ を考える。 行列式が 1 のものに制限したため、定数倍の問題がかなり緩和される。
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ここで準同型定理より同型が得られる：
\[PSL(2, \Complex) \coloneqq SL(2, \Complex)/\ker\varphi|_{SL} \cong \operatorname{im}\varphi|_{SL} = G.\]
円円対応
- 円を一次分数変換すると、やはり円になる。
- コメント：$\alpha\delta - \beta\gamma \ne 0$ が効いている。
- 非調和比
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相異なる四つの複素数から得られる複素数である：
\[[z_1, z_2; z_3, z_4] \coloneqq \frac{z_1 - z_3}{z_1 - z_4}/\frac{z_2 - z_3}{z_2 - z_4}.\] - 四つのうちちょうど一つは $\infty$ であってもよい。
- 非調和比は一次分数変換で不変である。
- (Th 4.4) 非調和比が実数であることと、四点を通過する円が存在することは同値である。
- 証明概略：偏角を考える。円周角の定理の逆などから円の存在が示される。
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- 鏡像の位置
- $z_1, z_2 \in \Complex$ がある円または直線に関して互いに鏡像の位置にあるとは、次の状態を意味するものとする：
- 二点を通過する円が存在して、この円または直線に直交する。
- (Th 4.5) 一次分数変換 $g,$ 点 $z,$ 円 $C$ について、$z$ の $C$ に関する鏡像を $z^\prime$ とする。 このとき $g(z)$ と $g(z^\prime)$ は鏡像の位置にある。
- $z_1, z_2 \in \Complex$ がある円または直線に関して互いに鏡像の位置にあるとは、次の状態を意味するものとする：
一次分数変換群
以下 Riemann 球面を $P^1(\Complex)$ で表す。
- 一次分数変換 は $P^1(\Complex)$ 上の変換とみなせる。
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$G$ は $P^1(\Complex)$ に推移的に作用する：
\[\forall z_1 \forall z_2( z_1 \in P^1(\Complex) \land z_2 \in P^1(\Complex) \implies \exists g(g \in G \land g(z_1) = z_2)).\]-
証明：次のように $g_w \in G$ をとる：
\[g_w(z) = \begin{cases} \dfrac{z + w}{z + 1}, & w \notin \{1, \infty\},\\ \dfrac{2z + 1}{z + 1}, & w = 1,\\ \dfrac{z - 1}{z}, & w = \infty. \end{cases}\]$g_w(0) = w,\; g_1(0) = 1,\; g_\infty(0) = \infty$ に注意すると $g$ を決定できる：
\[g = g_{z_2} \circ g_{z_1}^{-1}.\]
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- 等質空間（商空間）
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$SL(2, \Complex)$ における $0 \in P^1(\Complex)$ の固定部分群を $B$ とする：
\[B = \left\{ \begin{pmatrix} \alpha & 0\\ \gamma & \delta \end{pmatrix} \in SL(2, \Complex) \left. \right\vert \left. \alpha\delta = 1 \right.\right\}.\] - $P^1(\Complex) = G/B.$
- $SL(2, \Complex)$ は $\Complex^2$ に自然に作用する。
- $\Complex^2$ のベクトルの成分同士の商 $z$ を考えて $P^1(\Complex)$ に写す（射影）と、$G$ が自然に現れる。
-
* 話が見えない？
ベクトル $(\beta, \gamma)$ が本来の $P^1(\Complex)$ の元と考えられ、
商 $\beta/\gamma$ は Riemman 球面上にあるか、$\infty$ である。
* コメント：次の対応関係に注意：
$$
z \longleftrightarrow
\begin{pmatrix}
1 & z\\
0 & 1
\end{pmatrix}B,
\quad
g(z) \longleftrightarrow
g
\begin{pmatrix}
1 & z\\
0 & 1
\end{pmatrix}B.
$$
複素積分
線積分
積分の定義：
\[\int_C\!f(z)\mathrm dz = \int_a^b\!f(z(t))z^\prime(t)\,\mathrm dt.\]曲線 $C$ のパラメーター $t$ までの長さ：
\[s(t) = \int_a^t\!\lvert z^\prime(t)\rvert\,\mathrm dt.\]- 全長は $s(b)$ であるが、これを $\displaystyle \int_C!\lvert \mathrm dz\rvert$ と書くことがある。
- (E 5.1) 単位半円弧上で $f(z) = \dfrac{1}{z}$ を積分する。すると、上半分と下半分とで値が異なる。
-
(E 5.3) 円 $\lvert z - z_0 \rvert = r$ 上で $f(z) = (z - z_0)^n$ を積分する。
\[\begin{aligned} \int_C\! \frac{\mathrm dz}{z} &= \int_0^{2\pi}\!(r \mathrm{e}^{it})^n ir \mathrm{e}^{it}\,\mathrm dt\\ &= ir^{n + 1} \int_0^{2\pi}\! \mathrm{e}^{i(n+1)t}\, \mathrm dt\\ &= \begin{cases} \displaystyle i\int_0^{2\pi}\!\mathrm dt = 2\pi i, & n = -1,\\ \displaystyle ir^{n+1}\left[\frac{\mathrm e^{i(n+1)t}}{i(n+1)}\right]_0^{2\pi} = 0, & n \ne -1. \end{cases} \end{aligned}\] - (E 5.4) $z^n$ の積分。省略。
- (C 5.1) $f(z)$ が定義領域内で原始関数をもつならば、その領域内にある任意の閉曲線 $C$ に対して線積分はゼロである。
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不定積分を線積分で定義したいが、実数のときと異なり経路が一意的に定まらない。経路に依存して値が決まる可能性がある。
もし連続関数 $f(z)$ に対して固定した点 $\alpha \in D$ と任意の点 $z \in D$ を結ぶ曲線 $C$ に沿った線積分の値が $C$ に依らず終点 $z$ だけで定まるとき、不定積分 $F(z)$ を定められる：
\[F(z) = \int_C\!f(z)\,\mathrm dz = \int_a^z\!f(z)\,\mathrm dz.\] - (L 5.2) 関数 $f(z)$ に不定積分 $F(z)$ が存在するならば、$F(z)$ は正則であり、$F^\prime(z) = f(z)$ が成り立つ。
-
(Th 5.2) 連続関数 $f(z)$ が定義領域 $D$ 内の任意の閉曲線 $C$ に対して
\[\int_C\!f(z)\,\mathrm dz = 0\]であれば、$f(z)$ は不定積分をもつ。
Green の公式
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(Th 5.3) $P(x, y), Q(x, y)$ は閉領域 $D \cup \partial D$ において $C^1$ 級であるとする。 このとき次の等式が成り立つ：
\[\int_{\partial D}\!P(x, y)\,\mathrm dx + Q(x, y)\,\mathrm dy = \iint_{D}\!\left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\!\mathrm dx \mathrm dy.\]-
コメント：微分形式の Stokes の定理によると：
\[\begin{aligned} \int_{\partial D}\!P(x, y)\,\mathrm dx + Q(x, y)\,\mathrm dy &= \iint_D\!\mathrm d \left(P(x, y)\,\mathrm dx + Q(x, y)\,\mathrm dy\right)\\ &= \iint_D\!\mathrm dP \wedge \mathrm dx + \mathrm dQ \wedge \mathrm dy\\ &= \iint_D\!(P_x \,\mathrm dx + P_y \,\mathrm dy) \wedge \mathrm dx + (Q_x \,\mathrm dx + Q_y \,\mathrm dy)\wedge \mathrm dy\\ &= \iint_D\!P_y \,\mathrm dy \wedge \mathrm dx + Q_x \,\mathrm dx \wedge \mathrm dy\\ &= \iint_D\!(Q_x - P_y)\,\mathrm dx \wedge \mathrm dy. \end{aligned}\]
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(C 5.2) 閉領域の面積は次である：
\[S = \frac{1}{2}\int_{\partial D}\!-y\,\mathrm dx + x\,\mathrm dy.\]-
コメント：微分形式の Stokes の定理によると：
\[\begin{aligned} \frac{1}{2}\int_{\partial D}-y \mathrm dx + x \mathrm dy &= \frac{1}{2} \iint_D\! \mathrm d(-y \mathrm dx + x \mathrm dy)\\ &= \frac{1}{2} \iint_D\! - \mathrm dy \wedge \mathrm dx + \mathrm dx \wedge \mathrm dy\\ &= \iint_D\!\mathrm dx \wedge \mathrm dy\\ &= S. \end{aligned}\]
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第三回へ続く。