熊原啓作著『新訂解析学』の学習ノート第四回。居眠りしてあまり消化できなかった。

正則関数の性質

  • 正則関数は $C^\omega$ 級関数である。
  • 一致の定理が成り立つ
  • 等角写像（次回以降）

Taylor 級数展開

しばらくの間次を仮定する：

  • 集合 $D \subset \Complex$ を領域とする。
  • 関数 $f(z)$ を $D$ で定義された正則関数とする。
  • Th 7.1 Taylor 級数展開
    • $z_0$ を $D$ 内の任意の点とする。
    • $R_0 = d(z_0, \partial D)$ とする（最短距離）。

    このとき $f(z)$ は開円盤 $U_{R_0}(z_0)$ において次のようにべき級数に展開可能である：

    \[f(z) = \sum_{n = 0}^\infty c_0(z - z_0)^n,\quad c_n = \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!} = \frac{1}{2\pi i}\int_{\lvert \zeta - z_0 \rvert = R}\!\frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^{n+1}}\,\mathrm d\zeta.\]

    証明：

    $\lvert z - z_0 \rvert < R < R_0$ を満たす $R$ をとる。 $f(z)$ と円 $\lvert z - z_0 \rvert = R$ に対して Cauchy の積分公式を適用すると次の等式が成り立つ：

    \[f(z) = \frac{1}{2\pi i}\int_{\lvert \zeta - z_0 \rvert = R}\!\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,\mathrm d\zeta.\]

    右辺を変形していく：

    \[\def\C{ {\lvert \zeta - z_0 \rvert = R} } \begin{aligned} f(z) &= \sum_{k = 1}^{n - 1}\frac{(z - z_0)^k}{2\pi i}\int_\C\!\frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^{k+1}}\,\mathrm d\zeta + \rho_n,\\ \rho_n &= \frac{(z - z_0)^n}{2\pi i}\int_\C\!\frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)(\zeta - z_0)^n}\,\mathrm d\zeta. \end{aligned}\]

    この式変形には次の関係（等比級数の和の公式を逆に見る）を利用した：

    \[\frac{1}{\zeta - z} = \frac{1}{\zeta - z_0} \sum_{k = 0}^{n - 1}\left(\frac{z - z_0}{\zeta - z_0}\right)^k + \frac{(z - z_0)^n}{(\zeta - z)(\zeta - z_0)^n}.\]

    あとは $\lvert \rho_n \rvert$ を評価して適当に極限を検討する。

    • 積分路上 $\lvert f(z) \rvert \le M$ および
    • $r = \lvert z - z_0 \rvert$

    とおくと：

    \[\def\C{ {\lvert \zeta - z_0 \rvert = R} } \begin{aligned} &\phantom{\le} \left\lvert \frac{(z - z_0)^n}{2\pi i}\int_\C\!\frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)(\zeta - z_0)^n}\,\mathrm d\zeta \right\rvert\\ &\le \frac{r^n}{2\pi} \int_\C\! \left\lvert \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)(\zeta - z_0)^n}\right\rvert\lvert \mathrm d\zeta\rvert\\ &\le \frac{r^n}{2\pi} \frac{M}{(R - r)R^n}\cdot 2\pi R\\ &= \frac{MR}{R - r}\left(\frac{r}{R}\right)^n. \end{aligned}\]

    ここで $n \to \infty$ とすると右辺、すなわち級数の剰余項はゼロに収束する。

  • L 7.1

    Th 7.1 と同じ仮定をする。このとき：

    \[\forall n(n \in \N \implies f^{(n)}(z_0) = 0) \implies \forall z(z \in U_R(z_0) \implies f(z) = 0).\]
  • Th 7.2 因数定理
    • これまでと同じ仮定に加え、
    • $f(z_0) = 0 \land f(z) \not\equiv 0$

    とする。このとき次を満たす関数 $\varphi(z)$ が存在する：

    • $\varphi(z)$ は $U_R(z_0)$ で正則である。
    • $\exists m(m \in \Z \land f(z) = (z - z_0)^m\varphi(z) \land \varphi(z_0) \ne 0).$

    証明：

    • $f(z) \not\equiv 0$ であることから $\exists n(n \in \N \land n \ge 1 \land f^{(n)}(z_0) \ne 0).$
    • そのような $n$ の最小のものを $m$ とする。$f(z)$ の Taylor 展開は次数が $m$ の項から始まる。
    \[\begin{aligned} f(z) &= \sum_{n = m}^\infty \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z - z_0)^n\\ &= (z - z_0)^m \sum_{n = m}^\infty \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z - z_0)^{n - m}. \end{aligned}\]

    • ここでシグマ部分を $\varphi(z)$ とおく。このべき級数も $U_R(z_0)$ で収束する。 したがって正則であり、

      \[\varphi(z_0) = \frac{f^{(m)}(z_0)}{m!} \ne 0.\]
  • Th 7.2 のような点 $z_0$ を、$f(z)$ の位数が $m$ の零点という。
  • Th 7.3 一致の定理
    • $f, g$ を $D$ で正則な関数であるとする。
    • 点列 $\lbrace z_n \rbrace \subset D$ があり、点 $z_0 \in D$ に収束するとする。

    このとき：

    \[\forall n(n \in \N \implies f(z_n) = g(z_n)) \implies \forall z(z \in D \implies f(z) = g(z)).\]

    証明：

    $h(z) \coloneqq f(z) - g(z)$ とおき、これが恒等的にゼロであることを示す。

    仮定から

    \[\exists R \in \R(R > 0 \land U_R(z_0) \subset D).\]

    点列の条件 $z_n \to z_0\;(n \to \infty)$ から：

    \[\exists N(n \in N \land \forall n( n \in N \land n \ge N \implies z_n \in U_R(z_0))).\]

    以下、背理法を用いて証明する。仮に次が成り立つと仮定して矛盾を導く：

    \[\exists z(z \in U_R(z_0) \land h(z) \ne 0).\]

    Th 7.2 より次を満たす $D$ 上の正則関数 $\varphi(z)$ が存在する：

    \[\exists m(m \in \N \land h(z) = (z - z_0)^m\varphi(z) \land \varphi(z_0) \ne 0).\]

    このとき

    \[\forall n(n \ge N \implies 0 = h(z_n) = (z - z_0)^m\varphi(z_n))\\ \therefore \forall n(n \ge N \implies\varphi(z_n) = 0).\]

    $n \to \infty$ として $\varphi(z_0)= 0.$ これは仮定 $\varphi(z_0) \ne 0$ に反する。 ゆえに

    \[\forall z(z \in U_R(z_0) \implies h(z) \equiv 0).\]

    次に円盤から $D$ 全域に拡張しても一致が成り立つことを示す。

    まず点 $c \in D$ を一つとって固定する。それから点 $z_0$ と $c$ とを $D$ 内で結ぶ区分的に滑らかな曲線 $C = z(t),\;t \in {(0, 1)}$ を一つとる。

    • 実数 $t_0$ を次のいずれもが成り立つようにとる：
      • $0 \le t < t_0 \implies h(z(t)) = 0.$
      • $t_0 \le t \le 1 \implies h(z(t)) \ne 0.$
    • $t_0 > 0.$
    • 単調増加数列 $\lbrace t_n \rbrace$ を次が成り立つようにとる：
      • $t_1 = 0.$
      • $t_n \to t_0\;(n \to \infty)$
    • $z_n \coloneqq z(t_n)$ とおくと $z_n \to z(t_0) \land h(z_0) = 0.$
    • 前半の議論により $z_0$ を中心とするある円盤では $h(z) \equiv 0.$
    • $t_0 < 1$ と仮定すると $t_0$ のとり方（上限性がある）に矛盾するので $z(t_0) = c \land h(c) = 0.$ ゆえに $\forall z \in D(h(z) = 0).$

  • Th 7.4 最大値の原理： $\lvert f(z)\rvert$ が点 $z_0 \in D$ で最大値をとるならば、$f(z)$ は定数である。

    証明：

    $D$ が領域であることから $\exists R(R > 0 \land U_R(z_0) \subset D.$

    ここで次を仮定して背理法で証明する：

    \[\exists z_1(z_1 \in U_R(z_0) \land \lvert f(z_1) \rvert < \lvert f(z_0) \rvert).\]

    ここで $r, \theta_1$ を $z_1 - z_0 = r \mathrm{e}^{i\theta_1}$ をみたすものとする（コメント：$\theta_1$ は一意的に決まらないが気にしない）。

    $\theta_1$ の十分近くの $\theta$ について次が成り立つ：

    \[\lvert f(z_0 + r\mathrm{e}^{i\theta}) \rvert < \lvert f(z_0) \rvert\]

    ここで Cauchy の積分公式を応用すると：

    \[\begin{aligned} \lvert f(z_0 + r \mathrm{e}^{i\theta})\rvert &< \lvert f(z_0) \rvert\\ &= \left\lvert \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial U_r(z_0)}\!\frac{f(z)}{z - z_0}\,\mathrm dz \right\rvert\\ &\le \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\! \lvert f(z_0 + r \mathrm{e}^{i\theta})\rvert\,\mathrm d\theta\\ &< \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\! \lvert f(z_0)\rvert\,\mathrm d\theta\\ &< \lvert f(z_0) \rvert. \end{aligned}\]

    つまり $\lvert f(z_0) \rvert < \lvert f(z_0) \rvert.$ 明らか非合理である。 ゆえに背理法により：

    \[\forall z_1(z_1 \in U_R(z_0) \implies \lvert f(z_1) \rvert \ge \lvert f(z_0) \rvert).\]

    右辺は最大値であるので、結局 $\lvert f(z) \rvert$ は $D$ で定数である。 絶対値が定数である正則関数は定数関数であるので、

    \[\forall z(z \in U_R(z_0) \implies f(z) = f(z_0)).\]

    一致の定理より

    \[\forall z(z \in D \implies f(z) = f(z_0)).\]
  • C 7.1 $f(z)$ が有界な領域 $D$ で正則かつ $D \cup \partial D$ 上で連続であるならば、 $\lvert f(z) \rvert$ は境界 $\partial D$ 上のどこかで最大値を取る。
  • Th 7.5 (Schwarz)
    • $f(z)$ は $U_R(0)$ 上正則かつ有界であるとする。
    • $\lvert f(z) \rvert < M.$
    • $f(0) = 0.$
      • コメント：この仮定だけ証明のどこで使われたのかわからない。

    このとき：

    \[\forall z\left(z \in U_R(0) \implies \lvert f(z) \rvert \le \frac{M}{R}\lvert z \rvert \land \lvert f^\prime(0) \rvert \le \frac{M}{R}\right).\]

    $\lvert f(z) \rvert$ の不等式について、等号成立は次が成り立つときと同値である：

    \[\exists\theta\left(\theta \in \R \land f(z) = \mathrm{e}^{i\theta}\frac{M}{R}\right).\]

    証明：

    因数定理より $f(z) = z\varphi(z)$ を満たす $D$ 上の正則関数 $\varphi(z)$ が存在する。 $0 < r < R$ なる $r$ をとる。$U_r(0)$ と $\varphi$ に最大値の原理（の補題？）を適用すれば次がわかる：

    \[\forall z\left(z \in U_r(0) \implies \lvert \varphi(z)\rvert \le \max_{\zeta \in \partial U_r(0)}\frac{\lvert f(\zeta)\rvert}{\lvert \zeta\rvert} = \frac{M}{R} \le \frac{M}{r}\right).\]

    不等式に $\lvert z \rvert$ を乗じて極限 $r \to R$ を考えれば、

    \[\forall z\left(z \in U_r(0) \implies \lvert f(z) \rvert \le \frac{M}{R}\lvert z \rvert\right).\]

    $f^\prime(0) = 1 \varphi(0) + 0 \varphi^\prime(0) = \varphi(0)$ および先程の不等式により：

    \[\lvert f^\prime(0) \rvert = \lvert \varphi(0) \rvert \le \frac{M}{R}.\]

    もし $z = z_0 \in U_R(0)$ で $\lvert f(z_0)\rvert = \dfrac{M}{R}\lvert z_0\rvert$ ならば $\lvert \varphi(z_0) \rvert = \dfrac{M}{R}.$

    再び最大値の原理により $\varphi(z)$ は定数である。このとき

    \[\exists \theta\left(\theta \in \R \land \varphi(z) = \mathrm{e}^{i\theta}\frac{M}{R}\right).\]

次回は§7.2 から。