『新訂解析学』学習ノート Part 6
熊原啓作著『新訂解析学』の学習ノート第六回。
Laurent 展開
内容：
- 正則でない関数に対しても Taylor 展開のようなことをしたい。
- 正則でない点における関数の振る舞いを調べる。
- 有理型関数について。
Laurent 展開
- Th 8.1 (Laurent)
- $0 \le R_1 < R_2 \le \infty.$
- $z_0 \in \Complex.$
- $D = \lbrace z \,\mid\, R_1 < \lvert z - z_0\rvert < R_2 \rbrace.$
- $f(z)$ は $D$ 上正則であるとする。
に対して
\[\forall r \in {(R_1, R_2)} \exists c_n\left(\\ f(z) = \sum_{n = -\infty}^\infty c_n(z - z_n)^n,\quad c_n = \frac{1}{2\pi i}\int_{\lvert \zeta - z_0 \rvert = r}\!\frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n + 1}}\,\mathrm d\zeta.\right)\]かつこの級数は $R_1 < r_1 < r_2 < R_2$ を満たす任意の $r_1, r_2$ について $D_{12} = \lbrace z \,\mid\, r_1 < \lvert z - z_0 \rvert < r_2\rbrace$ 上一様収束する。
証明：
-
$D_{12}$ 上 $f$ は正則だから Cauchy の公式より：
\[\def\cauchy#1{ \frac{1}{2\pi i}\int_{\partial #1}\!\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,\mathrm d\zeta } \begin{aligned} f(z) &= \cauchy{D_{12}}\\ &= \cauchy{D_2} - \cauchy{D_1}. \end{aligned}\]この外側の積分と内側の積分を $\varphi(z)$ と $\psi(z)$ とそれぞれおく。
-
$\varphi(z)$ について次を示す：
\[\begin{aligned} \varphi(z) &= \sum_{n = 0}^\infty \frac{\varphi^{(n)}(z_0)}{n!}(z - z_0)^n,\\ \varphi^{(n)}(z_0) &= \frac{n!}{2\pi i}\int_{\partial D_2}\!\frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^{n + 1}}\,\mathrm d\zeta. \end{aligned}\]極限 $r_2 \to r$ を考えて一様収束であるとわかる。
-
$\psi(z)$ 側は少し厄介だ。
\[\varphi(z) = -\frac{1}{2\pi i}\int_{r_1}\!\frac{f(\zeta)}{\zeta - z}\,\mathrm d\zeta.\]$n < 0$ と $\lvert z - z_0 \rvert \ge r_1$ を「反転」して考えることになる：
\[Z = \dfrac{1}{z - z_0},\;W = \dfrac{1}{\zeta - z_0},\;\varPsi(Z) = \psi(z) = \psi\left(\dfrac{1}{Z} + z_0\right)\]とおく。すると $\varPhi(Z)$ は $\lvert Z \rvert < \dfrac{1}{r_1}$ で正則であり、 円 $\lvert \zeta - z_0\rvert = r_1$ は円 $\lvert W \rvert = \dfrac{1}{r_1}$ に曲線の向きが逆転して写る。
\[\begin{aligned} \frac{1}{\zeta - z} &= \frac{1}{\dfrac{1}{W} - \dfrac{1}{Z}} = -\frac{ZW}{W - Z},\\ \mathrm d\zeta &= -\frac{\mathrm dZ}{W^2} \end{aligned}\]だから $F(W) \coloneqq f!\left(\dfrac{1}{W} + z_0\right) = f(\zeta)$ とおくと $\lvert Z \rvert < 1/r_1$ のとき：
\[\def\C{ \lvert W \rvert = 1/r_1 } \begin{aligned} \psi(z) &= \frac{1}{2\pi i}\int_{\C}\! \frac{ZW F(W)}{W - Z}\cdot\frac{\mathrm dZ}{W^2}\\ &= \frac{1}{2\pi i}\int_{\C}\! \frac{ZF(W)}{(W - Z)W}\,\mathrm dW. \end{aligned}\]$\varPsi(Z)$ の Taylor 展開を次のようにおく：
\[\def\C{ \lvert W \rvert = 1/r_1 } \varPsi(Z) = \sum_{n=0}^\infty d_n Z^{n + 1},\quad d_n = \frac{1}{2\pi i}\int_{\C} \frac{F(W)}{(W - Z)^{n + 1}}\,\mathrm dW.\]コメント：級数の指数が $n + 1$ から始まるのは $Z$ が $z$ の $-1$ 乗のオーダー？だから。
$\varPsi(Z) = \psi(z)$ ゆえ $d_n = c_{- n - 1}$ が成り立つ。 最後に $r_1 \in {(R_1, R_2)}$ は任意だから $r_1 = r$ とすれば $\psi(z)$ について成り立つ。
-
$\lvert c_n \rvert$ の評価をする（絶対収束するので一様収束する）。
\[\lvert z - z_0\rvert \le r_2 \implies \sum_{n = 0}^\infty \lvert c_n(z - z_0)^n \rvert < \infty.\]次が成り立つように十分小さい $\varepsilon > 0$ をとる：
- $R_1 < r_1 - \varepsilon < r_1$
- $r_2 < r_2 + \varepsilon < R_2$
コメント：閉集合を定義することで評価ができる。
- 閉集合 $A = \lbrace z \,\mid\,r_1 - \varepsilon \le \lvert z - z_0 \rvert \le r_2 + \varepsilon\rbrace$ をとる。
- $\displaystyle M \coloneqq \max_{z \in A}\lvert f(z) \rvert$
ゆえに $\lvert z - z_0 \rvert \ge r_2$ で次の評価が成立して絶対一様収束性が示せる：
\[\sum_{n = 0}^\infty \lvert c_n(z - z_0)^n \rvert \le M \sum_{n = 0}^\infty \left(\frac{r_2}{r_2 + \varepsilon}\right)^n < \infty.\]反対側は：
\[\def\radius{r_1 - \varepsilon} n < 0 \implies\\ \begin{aligned} \lvert c_n \rvert &= \left\lvert \frac{1}{2\pi i}\int_{\lvert \zeta - z \rvert = \radius}\!\frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^{n + 1}}\,\mathrm d\zeta\right\rvert\\ &\le \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\!\frac{M}{(\radius)^{n+1}}(\radius)\,\mathrm d\theta\\ &= \frac{M}{(\radius)^n}. \end{aligned}\]ゆえに $\lvert z - z_0 \rvert \le r_1$ でも絶対一様収束：
\[\sum_{n = -\infty}^{-1} \left\lvert \frac{c_n}{(z - z_0)^n} \right\rvert \le M \sum_{n = -\infty}^{-1} \left(\frac{r_1}{r_1 - \varepsilon}\right)^n < \infty.\]コメント：べき乗の部分はマイナス乗なので、中身が 1 より大きいからゼロに収束する。
-
一意性の証明
まず次の事実に注目する：
\[\forall m \forall n(m \in \Z \land n \in \Z \implies\\ \begin{aligned} \int_{r}\!(z - z_0)^n \overline{(z - z_0)^m}\,\mathrm dz &= r^{m + n + 1}\int_0^{2\pi}\!\mathrm{e}^{i(n - m)\theta}\,\mathrm d\theta\\ &= \begin{cases} 0, & n \ne m,\\ 2\pi r^{2m + 1}, & n = m). \end{cases} \end{aligned}\\\]Laurent 展開の定義式の両辺に $\overline{(z - z_0)^m}$ をかけて積分する。 このとき一様収束性から項別積分に展開できて次を得る：
\[c_m = \frac{1}{2\pi r^{2m + 1}}\int_{r}\! f(z)\overline{(z - z_0)^m}\,\mathrm dz.\]この値は $f(z)$ と $m$ によって一意的に定まるものだ。
孤立特異点
- 関数 $f(z)$ の特異点とは、そこで $f$ が正則でない点のことである。
-
点 $z_0$ が関数 $f(z)$ の孤立特異点であるとは、$f$ の特異点であって、 ある $R > 0$ に対して $\lbrace z \,\mid\, \lvert z - z_0 \rvert < R \rbrace$ において $f$ が正則であるものをいう。
-
コメント：孤立していない特異点の例も作れる。下のような関数は $z = 0$ の近傍にいくらでも特異点がある。
\[\cfrac{1}{\sin\cfrac{\pi}{z}}\]
-
-
特異点 $z_0$ が除去可能であるとは、次の方法で $f$ の値を定義することで $z_0$ においても $f$ を正則にできるものをいう：
Laurent 展開の主要部が 0 であるならば、$f(z_0) \coloneqq c_0.$
-
Th 8.2 (Riemann)
$f(z)$ が $0 < \lvert z - z_0 \rvert < R$ で正則かつ有界ならば $z_0$ は除去可能である。
証明： $\forall n \in \N,\; 0 < \forall r < R$ に対して
\[\begin{aligned} \lvert c_{-n}\rvert &= \left\lvert \frac{1}{2\pi i}\int_C\!f(z)(z - z_0)^{n - 1}\,\mathrm dz\right\rvert\\ &\le \max_{z \in C} \{\lvert f(z)\rvert\} r^n. \end{aligned}\]極限 $r \to +0$ を考えると $\forall n \in N (c_{-n} = 0).$ 主要部がゼロである Laurent 展開をもつ点 $z_0$ は除去可能であるので、主張が成り立つ。
- 極：Laurent 展開の係数で、$c_{-k} \ne 0,\;c_{-n} = 0 \quad(n > k > 0)$ なる
$k$ がある点は $f$ の $k$ 位の極であるという。
- 点 $z_0$ が $f$ の $k$ 位の極であるとき、$\displaystyle \lim_{z\to z_0}f(z) = \infty.$ よって $z_0$ は $\dfrac{1}{f(z)}$ の除去可能な特異点である。
-
L 8.1 除去可能条件
$f(z)$ を $0 < \lvert z - z_0 \rvert < R$ で正則かつ非定数関数であるとする。 このとき、点 $z_0$ が除去可能であることと次が成り立つことは同値である：
\[\def\L{ \lim_{z \to z_0} \lvert z - z_0\rvert^h \lvert f(z) \rvert } \begin{aligned} \exists a \in \R(\forall h &(h > a \implies \L = 0)\\ \lor &(h < a \implies \L = \infty)). \end{aligned}\]証明：
- $\implies$ $z_0$ が除去可能であり $\displaystyle f(z_0) \coloneqq \lim_{z \to z_0}f(z)$ であるとする。
これにより $f(z)$ は円盤内で正則である。
- $f(z_0)\ne 0$ ならば $a = 0$ で上も下も成り立つ。
- $z_0$ が $k$ 位の零点のときは $a = -k.$
- $z_0$ が $k$ 位の極のときは $a = k.$
- $f(z_0)\ne 0$ ならば $a = 0$ で上も下も成り立つ。
- $\impliedby$
-
$h < a$ とする。$\forall m(m \ge a \implies \lim(z - z_0)^mf(z) = 0).$ すなわち $z_0$ は $(z - z_0)^mf(z)$ の除去可能な特異点であり、除去後の正則関数の零点である。 その位数を $k$ とすると次のような正則関数 $g$ が得られる：
\[\exists g(z)((z - z_0)^m f(z) = (z - z_0)^kg(z) \land g(z_0) \ne 0).\]$z_0$ は、
- $m \le k$ のときは除去可能特異点である。
- $m > k$ のときは極である。
-
$h > a$ とする。$\forall m(m < a \implies \lim(z - z_0)^mf(z) = \infty).$ すなわち $z_0$ は $(z - z_0)^mf(z)$ の極である。 その位数を $k$ とおくと次のような正則関数 $g$ が得られる：
\[\exists g(z)\left((z - z_0)^m f(z) = \frac{g(z)}{(z - z_0)^k}\right).\]$z_0$ は、
- $m \le -k$ のときは除去可能特異点である。
- $m > -k$ のときは極である。
-
- $\implies$ $z_0$ が除去可能であり $\displaystyle f(z_0) \coloneqq \lim_{z \to z_0}f(z)$ であるとする。
これにより $f(z)$ は円盤内で正則である。
-
真性特異点とは、Laurent 展開の主要部の長さが有限でない特異点をいう。
- コメント：したがって孤立特異点は次の三種類に分類できる：
- 除去可能な特異点 removable singularity
- 極 pole
- 真性特異点 essential singularity
- Th 8.3 (Weierstrass) 真性特異点は除去できない＝値を決定できない
- $z_0$ を $f(z)$ の真性特異点であるとする。
このとき $\displaystyle \lim_{z \to z_0}f(z)$ の値を自由に決められる：
\[\forall \lambda \in \Complex \cup \{\infty\} \exists z_n \in \Complex \forall \varepsilon > 0 \exists n \in \N \forall n \ge N (\lvert f(z_n) - \lambda\rvert < \varepsilon).\]証明：背理法による。上記の論理式を否定したものを仮定して矛盾を導く。
\[\exists \varepsilon > 0 \exists \delta > 0 \forall z( 0 < \lvert z - z_0 \rvert < \delta \implies \lvert f(z) - \lambda \rvert \ge \varepsilon )\]が成り立つとすると：
\[\forall a(a < 0 \implies \lim_{z \to z_0}\lvert z - z_0\rvert^a \lvert f(z) - \lambda\rvert = \infty).\]L 8.1 より、$z_0$ は $f(z) - \lambda$ の除去可能な特異点である。 したがって：
\[\def\F{ \lim_{z \to z_0}(z - z_0)^b } \begin{aligned} \exists b > 0( 0 &= \F(f(z) - \lambda)\\ &= \F f(z) - \F\lambda\\ &= \F f(z) ) ). \end{aligned}\]これは $z_0$ が真性特異点であることに矛盾する。
- コメント：よくわからない。
- 有理型とは関数であって、定義領域内に極以外の特異点がないものをいう。
- E 8.1 有理式は有理型
- $P(z), Q(z)$ は多項式であり、共通の零点を持たないとする。
このとき $\dfrac{P(z)}{Q(z)}$ は $\Complex$ 上有理型であり、その極は $Q(z)$ の零点と一致する。
-
$\infty$ まわりの Laurent 展開とは、$f(z)$ が $\infty$ の十分近く – $\exists R > 0 (\lvert z \rvert > R)$ – で正則であるときに、次の形の級数に書けることをいう：
\[f(z) = \sum_{n = -\infty}^{\infty} c_n z^n.\]- $g(z) = \dfrac{1}{f(z)}$ とすると $0 < \lvert z \rvert < R$ で正則。
$z = 0$ が $g(z)$ の
- 除去可能な特異点であるとき、$z = \infty$ は $f(z)$ の除去可能な特異点であるという。 $\displaystyle \lim_{z \to \infty}f(z) \ne \infty$ に対応。
- 極であるとき、$z = \infty$ は $f(z)$ の極であるという。 $\displaystyle \lim_{z \to \infty}f(z) = \infty$ に対応。
- 真性特異点であるとき、$z = \infty$ は $f(z)$ の真性特異点であるという。 $\displaystyle \lim_{z \to \infty}f(z)$ は決定できない。
- $f$ の主要部は $\displaystyle \sum_{n = 1}^\infty c_nz^n$ であるとする。 もしこの級数が有限の長さならば極を $\infty$ にもつ。
- $g(z) = \dfrac{1}{f(z)}$ とすると $0 < \lvert z \rvert < R$ で正則。
$z = 0$ が $g(z)$ の
- E 8.2
- $k$ 次多項式は $z = \infty$ を $k$ 位の極にもつ。
- $\mathrm{e}^z$ では $z = \infty$ は真性特異点である。
有理型関数の級数
以下、
- $D$ を領域、
- $\lbrace f_n(z) \rbrace$ を $D$ 上の有理型関数、
- $S \subset D$ を単なる部分集合
とする。
- 級数 $\sum f_n(z)$ が $S$ 上一様収束するとは、$f_n$ のうち正則でないものが高々有限個しかなく、 それら以外からなる級数が $S$ 上一様収束することをいう。
- 級数 $\sum f_n(z)$ が $D$ 上広義一様収束するとは、$D$ の任意の有界閉集合において、
$D$ 上一様収束することをいう。
- コメント：英語なら compact uniformly convergence だから「有界閉集合で～」を覚えられる。
コメント：ある番号以降 $f_n$ は正則関数だから、それをかき集めた級数は正則関数の級数である。 以前の結果よりこれは一様収束して極限は正則関数である。これが $D$ の開集合と番号のとり方に依らないで確定すれば（する）、 その値をもって級数 $\sum f_n(z)$ の定義とする。そう言っている。 また、そのときは項別微分が可能になることに注意。
- Th 8.4 極限操作の順序変更定理
- $f_n(z)$ が $D$ 上広義一様収束するものとする。
このとき、
- $\sum f_n^\prime(z)$ は$D$ 上広義一様収束する。
- 項別微分が許される。
-
E 8.3 コメント：この後の無限乗積の議論で参照されるのでしっかり理解する必要アリ
\[\tag*{($\bigstar$)} \frac{\pi^2}{\sin^2\pi z} = \sum_{n = -\infty}^\infty \frac{1}{(z - n)^2}.\]$\bigstar$ の右辺と左辺をそれぞれ $f(z), g(z)$ とおく。右辺のシグマの中身を $f_n(z)$ とおく。 以下、各関数の有界性と正則性を中心に調査する。
$f(z)$ の性質：
- $\Complex\setminus\Z$ 上で広義一様収束する。
- 有理型関数の無限級数につき、極限 $f(z)$ は有理型である。$z \in \Z$ において 2 位の極をもつ。
- $f(z + 1) = f(z).$ 周期関数である。
- 実軸方向への周期性から、少なくとも極以外は実軸上 $f(z)$ は有界である。
- 証明しないが、そのような $z$ を一つ決めて虚部を $\pm\infty$ に発散させても有界である。
まとめると、$f(z)$ 極以外では有界かつべき級数展開可能な関数である。
$g(z)$ の性質：
- $g(z)$ は極を除いた $\Complex$ 上全域でべき級数展開できる。
-
$z \in \Z$ において 2 位の極をもつ。
\[\def\L{ \lim_{z \to n} } \begin{aligned} \L (z - n)^2 g(z) &= \L\frac{\pi^2 (z - n)^2}{\sin^2\pi z}\\ &= \L\frac{\pi^2 (z - n)^2}{\sin^2(\pi z - n\pi)}\\ &= \L\left(\frac{\pi(z - n)}{\sin \pi(z - n)}\right)^2\frac{1}{(z - n)^2}\\ &= \L\frac{1}{(z - n)^2}. \end{aligned}\] - $\sin$ の性質より $g(z + 1) = g(z)$ である。周期関数である。
- $\sin$ の性質より極を除く実軸上は有界である。
-
極でない $z$ を一つ決めて虚部を $\pm\infty$ に発散させても有界である： $z = x + iy$ とおくと：
\[\def\L{ \lim_{y \to \infty} } \begin{aligned} \L\lvert g(z) \rvert^2 &= \L\frac{\pi^2}{(\sin\pi x \cosh\pi y + i\cos\pi x\sinh\pi y)^2}\\ &= \L\frac{\pi^2}{\sin^2\pi x + \sinh^2 \pi y}\\ &= 0. \end{aligned}\]
まとめると、$g(z)$ も極以外では有界かつべき級数展開可能な関数である。
次に $f(z) - g(z)$ の性質を調べる。
- $f(z) - g(z)$ は各 $z \in \Z$ の周りで正則である：
- $f(z) - g(z)$ は $\Z$ 以外に極を持たない。 $g(z)$ の定義から $f(z)$ は $\Z$ 以外に極を持たない。したがって $f(z) - g(z)$ は整関数である。
- さらに $f(z) - g(z)$ も周期関数である。その結果
- 実軸上で有界であることになり、
- $f(z)$ と $g(z)$ が虚軸に沿って $\to \pm\infty$ しても有界である
- よって $\Complex$ 上有界である。
そして Liouville の定理により、$f = g$ が実は成り立つ：
\[h(z) = \begin{cases} f(z) - g(z), & z \in \Complex\!\setminus\!\Z,\\ 0,& z \in \Z. \end{cases}\]このように $h(z)$ を置くとこれは有界かつ $\Complex$ 上全域で正則になる。 Liouville の定理により定数関数であるといえるので、$f(z) = g(z)$ が示された。
以下、円周率の計算方法（Gauss が発見したのものと記憶している）。上記の結果を若干修正して次を得る：
\[\frac{\pi^2}{\sin^2 \pi z} - \frac{1}{z^2} = \sum_{n \ne 0}\frac{1}{(z - n)^2}.\]右辺は $z = 0$ で正則であるので、左辺の極限 $n \to 0$ を考える。 左辺は $\dfrac{\pi^2}{3}$ に収束し、右辺は $\displaystyle 2 \sum_{n = 1}^\infty\dfrac{1}{n^2}$ である。 よって次の等式が得られる：
\[\sum_{n = 1}^\infty\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}.\] -
E 8.4
\[\tag*{$\bigstar\bigstar$} \pi\cot\pi z = \frac{1}{z} + \sum_{n = 1}^\infty\frac{2z}{z^2 - n^2} = \sum_{n = -\infty}^\infty \frac{1}{z - n}.\]証明 $\bigstar\bigstar$ の右辺と左辺をそれぞれ $f(z), g(z)$ とおく。
- $f(z)$ を微分すると E 8.3 の結果を利用できることに気づく：
級数は広義一様収束なので項別積分可能。両辺を積分すれば主張の等式が得られる。
-
Q8.1
\[\frac{\pi}{\sin\pi z} = \frac{1}{z} + \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n 2z}{z^2 - n^2}.\]三角関数の部分分数展開 - Wikipedia に仲間も込めて書かれている。わかりにくい部分を補足する：
\[\begin{aligned} \frac{\pi}{\sin\pi z} &= \frac{\pi}{2}\left(\cot\frac{\pi z}{2} + \tan\frac{\pi z}{2}\right)\\ &= \sum_{n = -\infty}^\infty\frac{1}{z + 2n} -\sum_{n = -\infty}^\infty \frac{1}{z + 1 + 2n}\\ &= \dotsb + \frac{1}{z - 4} + \frac{1}{z - 2} + \frac{1}{z} + \frac{1}{z + 2} + \frac{1}{z + 4} + \dotsb\\ &\quad\quad - \frac{1}{z - 3} - \frac{1}{z - 1} - \frac{1}{z + 1} - \frac{1}{z + 3} - \dotsb. \end{aligned}\]和の順序の入れ替え方によって
- $\displaystyle \sum_{n = -\infty}^\infty\frac{(-1)^n}{z + n},$ または
- $\displaystyle \frac{1}{z} + \sum_{n = 1}^\infty\frac{(-1)^n 2z}{(z + n)(z - n)}$
である。
- Th 8.5
- $0 \le R_1 < R_2 \le \infty.$
- $D$ をこのリングの内側の領域とする。
このとき、級数 $\displaystyle \sum_{n = -\infty}^\infty c_n(z - z_0)^n$ が $D$ 上関数 $f(z)$ に収束するならば、 この級数は $f(z)$ の $z_0$ を中心とする Laurent 級数展開に一致する。
証明：
- 級数の「主要部」でない部分は $\lvert z - z_0 \rvert < R_2$ で広義一様収束する。
- 級数の「主要部」は $Z = \dfrac{1}{z - z_0}$ の整級数であり、$\lvert Z \rvert < R_1$ で、 つまり $\lvert z - z_0 \rvert > R_1$ で広義一様収束する。
-
ゆえに $\forall m \in \Z$ に対して
\[\frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^{m+1}} \coloneqq \sum_{n = -\infty}^\infty c_n(z - z_0)^{n - m - 1}\]とおくと、これは $D$ 上広義一様収束し、$\forall r \in {(R_1, R_2)}$ に対して閉集合 $C: \lvert z - z_0 \rvert = r$ 上一様収束する。 積分すれば項別積分が可能なのでそうする：
\[\begin{aligned} \int_C\!\frac{f(\zeta)}{(\zeta - z)^{m + 1}}\,\mathrm d\zeta &= \sum_{n = -\infty}^\infty c_n\int_C\!(\zeta - z_0)^{n - m - 1}\,\mathrm d\zeta\\ &= 2\pi i \cdot c_m. \end{aligned}\]これは級数が $f$ の Laurent 展開であることを示している。
コメント：円周上の多項式の積分の計算は既出だった：
\[\int_C\!(z - z_0)^n\,\mathrm dz = \begin{cases} 2\pi i, & n = -1,\\ 0, & n \ne -1. \end{cases}\]
以上で第 8 章ノートを終わる。