同型定理三兄弟の復習をする。

同型定理

正規部分群は、ある群から別の群への準同型写像の核で表される。基本。

$G, G^\prime$ を群とし、$H \triangleleft G$ を正規部分群とする。 自然な射影 $\pi\colon G \longrightarrow G/H$ の核 $\ker \pi$ は準同型写像 $f\colon G \longrightarrow G^\prime$ の核 $\ker f$ の部分集合である： $\ker\pi \subset \ker f.$ これも基本。

第一定理

\[G/\ker f \cong \operatorname{im} f.\]

上述の基本的命題から直ちに証明できる。

第二定理

ここでは $H$ は（単なる）部分群、$K \triangleleft G$ は正規部分群とする。

\[H/H \cap K \cong KH/K.\]

$f\colon H \rightarrow HK \rightarrow HK/K$ をとり、 $\pi\colon H \longrightarrow H/K$ について第一同型定理を適用すると証明できる。

  • これの応用が $S_3/S_3 \cap V_4 = S_3 \cong S_4/V_4.$ $S_n$ は対称群、$V_4$ は Klein の四元群。

第三定理

$H \triangleleft G$, $K \triangleleft G$ かつ $K \subset H$ とする。

\[(G/K)/(H/K) \cong G/H.\]

これは $f\colon G/K \longrightarrow G/H$ を恒等写像（全射準同型）とみなして、 $\pi\colon G/K \longrightarrow (G/K)/(\ker f)$ に対して $\ker f = H/K$ を示せば証明が終わる。