代数の整域に関するノート。以下の記述では、

  • 単に環というときでも 1 を持つ可換環を指すとする。
  • 零因子は $0$ を除外してあるとする。

定義

整域 (integral domain)

定義：1 を持つ可換環 $D$ が整域であるとは、次の条件をすべて満たすものをいう：

  • $D \ne \lbrace 0_D \rbrace.$
  • $D$ は零因子を含まない。

最大公約元 (GCD, $\gcd$)

定義：$D$ を整域とし、$a, b \in D$ を $a \ne 0_D$ または $b \ne 0$ を満たす要素とする。

ある $d \in D$ が次の条件を満たすとき、これを $a$ と $b$ の最大公約元であるといい、 記号 $d = \gcd(a, b)$ で表す：

  • $d \mid a \land d \mid b.$
  • $\forall c \in D(c \mid a \land c \mid b \implies c \mid d).$

言葉で言い換えると、$d$ は $a$ と $b$ の公約元であり、かつ任意の他の $a, b$ の公約元は $d$ を割り切る。

検討：

  • 「最大」の付かない公約元、共通因数の概念は環で定義される。
  • このような性質の要素が（整域の段階では）常に存在するとは保証されないし、また存在しても一意的であるとは限らない。
  • 記号はほんとうは $\gcd\lbrace a, b\rbrace$ のように集合を引数に取る。タイプが面倒なので丸括弧で代用する。

互いに素

定義：$D$ を整域とする。$a, b \in D$ をどちらも零でない任意の元とする。

$d \coloneqq \gcd\lbrace a, b\rbrace$ が $D$ の零でない単元であるとき、かつそのときに限り、 $a$ と $b$ は互いに素であるという。

コメント：英語では coprime だとか relatively prime だとか色々言い回しがあるようだ。 日本語では「互いに素」しかない。

同伴 (associates)

定義：$D$ を整域とする。$x, y \in D$ とする。 $D$ において $x$ と $y$ が同伴であるとは、次の条件をすべて満たすものをいう：

  • $x$ が $y$ を割り切る。
  • $y$ が $x$ を割り切る。

検討：

  • 同値な言い換えがある：
    • 単項イデアルが等しい：$(x) = (y).$
    • 一方が他方の単元倍で表される。
  • 同伴は同値関係である。

性質

無印の整域くらいではまだ良い性質がないようだ。 整域の次の「サブクラス」は素元分解整域なので、そこから定理を調べていく。

標数は $0$ または素数

証明：$D$ を整域とし、その標数を $\operatorname{char}(D)$ で表すことにする。

$\operatorname{char}(D)$ の値は $0$ または素数である。

証明： $D$ が無限集合の場合には、$0_D$ 以外の $x \in D$ で $x + x + \dotsb + x = 0$ となる要素は明らかに存在しない。ゆえに $\operatorname{char}(D) = 0.$

$D$ が有限の場合に $\operatorname{char}(D) = n = rs,$ ただし $r, s$ はどちらも $2$ 以上の自然数であると表されると仮定して矛盾を導く。

環の性質から（整域の乗法の演算子と整数のそれとを同じ $\cdot$ で記すが）：

\[\begin{aligned} (r \cdot 1_D)(s \cdot 1_D) &= (rs)(1_D \cdot 1_D)\\ &= (rs)1_D\\ &= n \cdot 1_D\\ &= 0_R.\\ \end{aligned}\]

整域の定義により $D$ に真の零因子は含まれない。したがって $r \cdot 1_D = 0_D$ または $s \cdot 1_D = 0_D$ が成り立つ。 しかしこれはどちらの場合でも $r$ または $s$ の定義に矛盾する。 ゆえに $\operatorname{char}(D) = rs$ の形には書けないことが示された。 すなわち、$\operatorname{char}(D)$ は素数である。

以上により、整域の標数は $0$ または素数であることが示された。 $\blacksquare$

単数の因数は単数に限る

定理：整域において、単数は単数以外では割り切れない。

証明：整域を $D$ とし、$U_D \subset D$ をその単元すべてからなる集合とする。 $(U_D, \cdot)$ は群をなす。

このとき $x \in D$ が $u \in U_D$ を割り切るならば $x \in U_D$ が成り立つことを示す。

「割り切る」の定義により、$u = tx$ をみたす $t \in D$ が存在する。 ここで $u$ は単元だから、その逆元 $u^{-1} \in U$ を両辺に乗じる。 $1_D = u^{-1}u = u^{-1}tx.$

$D$ は乗法に関して可換であるから

\[u^{-1}tx = 1_D = xu^{-1}t.\]

この等式は $x$ が逆元 $u^{-1}t$ をもつことを表している。ゆえに $x \in U_D.$ $\blacksquare$

逆元が自身と等しい単元は $\pm1_D$

定理：$D$ を整域とし、$x \in D$ は $x^2 = 1_D$ を満たす要素とする。

このとき $x = \pm1_D.$

証明：下記の式変形において整域であること、零因子が存在しないことが本質的である：

\[\begin{aligned} &\phantom{\iff}x^2 = 1_D\\ &\iff (x + 1_D)(x - 1_D) = 0_D\\ &\iff x + 1_D = 0 \lor x - 1_D = 0_D.\\ &\iff x = -1_D \lor x = 1_D. \end{aligned}\]

$\blacksquare$

単数すべての積は $-1_D$

定理：$D$ を有限個の単数を含む整域であるとし、単数全ての集合を $U_D \subset D$ とする。 このとき次が成り立つ：

\[\prod_{u \in D_U}u = -1_D.\]

証明：$S \coloneqq U_D\setminus\lbrace \pm1_D\rbrace$ とおく。 $\operatorname{card}S$ により場合分けを行う：

$\operatorname{card}S$ が偶数の場合。このとき $S$ を次の対の分割として表されることに注目する：

\[S = \bigsqcup \{u, u^{-1}\}.\]

各対において $uu^{-1} = 1_D$ だから、求める乗積はこれに $1_D$ と $-1_D$ を乗じて $-1_D$ である。

$\operatorname{card}S$ が奇数の場合。さきほどと同様の分割を考えると、

\[S = \{x\} \cup \bigcup \{u, u^{-1}\}\]

の形になる。ここで $x$ は $x = x^{-1}$ を満たす要素である。 しかし自分自身がその逆元であるような要素は $\pm 1_D$ のいずれかであるが、 これは $\pm 1_D \notin S$ に矛盾する。背理法により $\operatorname{card}S$ が奇数の場合はあり得ないことが示された。

以上により、整域の単元すべての積は $-1_D$ に等しいことが示された。 $\blacksquare$

素元は既約元

定理：整域における素元は既約元である。

証明： $p \in D$ を素元とする。$p = ab$ なる $a, b \in D$ があると仮定する。 以下、$a$ または $b$ が単元であることを示すことにより $p$ が既約元であることを示す。

値のとり方から $p$ は $ab$ を割り切る。$p$ は素元であるので、 $p$ が $a$ を割り切るか、または $p$ が $b$ を割り切る。 どちらでも同じことなので $p \mid a$ とする。 このときある $t \in D$ が存在して $pt = a.$

\[\begin{aligned} 1a &= a = pt\\ &= (ab)t = a(bt).\\ \therefore a &= a(bt). \end{aligned}\]

$D$ は整域であるから簡約律が適用できて $1 = bt.$ すなわち $b$ は単元である。 したがって $p = ab$ のとき $a$ または $b$ が単元であることが示され、$p$ は既約元であることが示された。 $\blacksquare$

整域の条件は零イデアルが素であること

素イデアル学習ノート参照。

～は整域である

例に関しては各サブクラスのもっとも性質の良い整域のノートで挙げていきたい。

参考資料