Galois 論に入る前に体の基本的な性質を理解しようノート。

定義

体 (field)

定理：体とは 1 をもつ可換環 $K$ であって、$0_K$ を除く任意の要素が可逆元であるようなものをいう。

  • $K$ が加法に関して Abel 群である。
  • $K^\times \coloneqq K\setminus0_K$ が乗法に関して Abel 群である。
  • 分配律 e.g. $\forall a \forall b \forall c(a(b + c) = ab + ac)$ が成り立つ。

検討：

  • なぜ可換環の定義では分配律を規定しないのか考えてみよう。
  • 特に $\lbrace 0_K\rbrace$ はこの定義により体ではない。

体の準同型写像 (field homomorphism)

定義：$(K, +_K, \cdot_K)$, $L(, +_L, \cdot_L)$ を体とする。 写像 $\varphi\colon K \longrightarrow L$ が体の準同型写像であるとは、次の性質を満たすことをいう：

\[\begin{aligned} \forall a \in K \forall b \in K ( \varphi(a +_K b) &= \varphi(a) +_L \varphi(b)).\\ \forall a \in K \forall b \in K ( \varphi(a \cdot_K b) &= \varphi(a) \cdot_L \varphi(b)). \end{aligned}\]

コメント：環の準同型写像を流用して定義できるはずだ（特に $\varphi(1_K) = 1_L$ の条件も要る）。

体の同型写像 (field isomorphism)

定義：体の準同型写像 $\varphi\colon K \longrightarrow L$ が全単射であるとき $\varphi$ を体の同型写像という。

体の自己同型写像 (field automorphism)

定義：体の同型写像 $\varphi\colon K \longrightarrow K$ を体の自己同型写像という。

部分体 (subfield)

定義：加法と乗法が定義された代数的構造 $K(+, \cdot)$ の部分集合 $L$ が体であるとき $L$ は $K$ の部分体であるという。

検討：意外な定義だが、この定義を採用すると 1 をもつ可換環の部分集合が部分体になる場合にも通じる。 「体の部分集合であって～」では甘いのだ。

拡大体 (extension field)

定義：$K$ を体とする。体 $L$ が $K$ の拡大体であるとは、$K$ が $L$ の部分体であることとする。

有限体 (finite field)

定義：体 $(K, +, \cdot)$ が有限体であるとは、台集合 $K$ が有限集合であるものをいう。

参考資料