雪江明彦著『環と体とガロア理論』第 3 章ノート。

第 3 章 体論の基本

3.1 体の拡大

  • 標数が 0 ということは 1 を何倍しても 0 にならないということである。
  • $\mathbb F_p = \Z/p\Z$ を含む体は標数 $p$
    • 以下 $q \coloneqq p^n$
    • $(x + y)^q = x^q + y^q.$
    • Frobenius homomorphism: $x \mapsto x^q$
      • $(x + y)^q = x^q + y^q$: OK
      • $(xy)^q = x^q y^q$: OK
      • $1_K{}^q = 1_K$: OK
      • $0_K{}^q = 0_K$: OK
    • $f(X) \in \mathbb F_p[X] \implies f(X^p) = f(X)^p.$
      • Fermat の小定理により $a_i^p = a_i$ であることと $p$ 乗が Frobenius 準同型であることによる

体の準同型は常に単射。体にはまともなイデアルがないことと準同型定理からわかる。

定理：標数 $p$ の体において $q = p^n$ について $(x + y)^q = x^q + y^q.$

証明：数学的帰納法で示す。$n = 1$ のとき：

\[\begin{aligned} (x + y)^p &= \sum_{i = 0}^p \binom{p}{i}x^i y^{p - i}.\\ \end{aligned}\]

二項係数は $i = 0, p$ のとき $1$ に等しい。 $0 \lt i \lt p$ のときはすべて $p$ の倍数になるので、この体では $0$ になる。ゆえに $(x + y)^p = x^p + y^p.$

$n = k$ のとき $(x + y)^{p^k} = x^{p^k} + y^{p^k}$ が成り立つと仮定する。

\[\begin{aligned} (x + y)^{p^{k + 1}} &= \left((x + y)^{p^k}\right)^p\\ &= \left(x^{p^k} + y^{p^k}\right)^p\\ &= \left(x^{p^k}\right)^p + \left(y^{p^k}\right)^p\\ &= x^{p^{k + 1}} + y^{p^{k + 1}}. \end{aligned}\]

となって $n = k + 1$ のときにも成り立つ。

以上より、すべての正の数 $n$ に対して $(x + y)^{p^n} = x^{p^n} + y^{p^n}$ が成り立つことが示された。 $\blacksquare$

  • 拡大体、中間体の素朴な定義。
  • 拡大・中間体の関係をグラフで描くことがある。
  • 拡大次数の概念と記号。
    • $[\mathbb C : \mathbb R] = 2.$
    • $[\mathbb Q(\sqrt{d}) : \mathbb Q] = 2.$ ただし $d \in \Z$ は平方因子をもたない数とする。
    • $[K(X) : K] = \infty.$
  • 代数体の定義。$\mathbb Q$ の有限次拡大限定。
  • 「～代数」という用語で用語を定義するので、この意味を習わないといけない。
    • 環 $k$ から環 $A$ への準同型があるとき $A$ を $k$ 代数とか $k$ 上の代数とかという。

    • $A$, $B$ が $k$ 代数のとき、$A$ から $B$ にも準同型写像があって $k, A, B$ に可換図式が描ければ $k$ 準同型という。そのような写像の全体を

      \[\operatorname{Hom}_K(A, B)\]

      で表す。

      • 準同型 $\varphi\colon k \longrightarrow A$
      • 準同型 $\psi\colon k \longrightarrow B$
      • $f\colon A \longrightarrow B$ が $k$ 準同型 $\iff$ $f \circ \varphi = \psi$
    • $k$ 準同型が同型写像ならば $k$ 同型という。

    • $B = A$ のときに $k$ 同型全体がなす群を $k$ 自己同型群という。

      \[\operatorname{Aut}_k A\]

      で表す。

  • 素体の定義。
    • $\mathbb Q, \mathbb F_p$ の自己同型は恒等写像しかない。
  • $K(S)$ の定義が少し違う。
  • $K$ 準同型 $\varphi$ に対して $K(\varphi(S)) = \varphi(K(S))$ は重要。
  • 単拡大の定義
  • 有限生成な拡大体の定義
  • 代数的、代数拡大・超越的、超越拡大の定義
    • $\alpha$ が $K$ 上代数的 $\iff K[\alpha] = K(\alpha).$
    • 代数拡大の代数拡大は代数拡大。
    • 有限生成な代数拡大 $\iff$ 有限次拡大
    • 超越拡大 $\iff$ 無限次拡大
    • $[L : K] = [L : M][M : K]$
  • 大事：$K$ 上の $n$ 次の既約多項式は、体を適当に拡大すればその根を含むものがある。
  • $\alpha$ の $K$ 上の最小多項式の定義
    • $f(X) \ne 0, f(\alpha) = 0,$ $\deg f(X)$ が最小のもの、既約多項式、モニック。
    • 最小多項式の例いろいろ
      • $X^2 - d$ は $\sqrt{d}$ の $\mathbb Q$ 上の最小多項式。
      • $X^n - 2$ は $\sqrt[n]{2}$ の $\mathbb Q$ 上の最小多項式。
  • 共役の定義
    • 自身も共役になる。
    • 共役の例いろいろ（よくある例）
      • $\sqrt{d}$ の $\mathbb Q$ 上の共役は $\pm\sqrt{d}.$

      • $\sqrt[3]{2}$ の $\mathbb Q$ 上の共役は $\omega$ を 1 の原始 3 乗根の一つとすると

        \[\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}\omega, \sqrt[3]{2}\omega^2.\]
    • $K$ 準同型の像と共役になる。
    • 共役を使って最小多項式を求める技法。

$\alpha \coloneqq \sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2}$ の最小多項式を求める。 以下 $\omega$ は 1 の原始 3 乗根の一つ（虚部が正のほう）とする。

  • $\mathbb Q$ 同型 $\varphi_1\colon\mathbb Q \longrightarrow \mathbb Q(\sqrt[3]{2}\omega),\;\varphi_2\colon\mathbb Q \longrightarrow \mathbb Q(\sqrt[3]{2}\omega^2)$ で次を満たすものが存在する：

    \[\begin{aligned} \varphi_1(\sqrt[3]{2}) &= \sqrt[3]{2}\omega.\\ \varphi_2(\sqrt[3]{2}) &= \sqrt[3]{2}\omega^2.\\ \end{aligned}\]

  • これらの $\mathbb Q$ 同型写像による $\alpha$ の像を考える：

    \[\begin{aligned} \varphi_1(\alpha) &= \varphi_1(\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2})\\ &= \varphi_1(\sqrt[3]{2})^2 + \varphi_1(\sqrt[3]{2})\\ &= \sqrt[3]{4}\omega^2 + \sqrt[3]{2}\omega.\\ \varphi_2(\alpha) &= \dots\\ &= \sqrt[3]{4}\omega + \sqrt[3]{2}\omega^2. \end{aligned}\]
  • $f(X) \coloneqq (X - \alpha)(X - \varphi_1(\alpha))(X - \varphi_2(\alpha))$ とおく。
    • $f(\alpha) = 0.$
    • $f(X) \in \mathbb Q[X].$ 各係数を確認することによる。
      • $X^3$ の係数は 1 で OK.
      • $X^2$ の係数。$\alpha + \varphi_1(\alpha) + \varphi_2(\alpha) = 0.$

      • $X$ の係数。

        \[\begin{aligned} &\phantom{=}\alpha\varphi_1(\alpha) + \varphi_1(\alpha)\varphi_2(\alpha) + \varphi_2(\alpha)\alpha\\ &= \alpha(\varphi_1(\alpha) + \varphi_2(\alpha)) + \varphi_1(\alpha)\varphi_2(\alpha)\\ &= -\alpha^2 + \varphi_1(\alpha)\varphi_2(\alpha)\\ &= -\sqrt[3]{4} - 2\sqrt[3]{2} - 4 + (2\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4} - 2)\\ &= -6. \end{aligned}\]

      • 定数項

        \[\begin{aligned} &\phantom{=}\alpha\varphi_1(\alpha)\varphi_2(\alpha)\\ &= (\sqrt[3]{4} + \sqrt[3]{2})(2\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4} - 2)\\ &= 6. \end{aligned}\]
  • 拡大次数 $[\mathbb Q(\alpha) : \mathbb Q]$ を求める。
    • $\mathbb Q(\alpha)$ は $\mathbb Q$ と $\mathbb Q(\sqrt[3]{2})$ の中間体なので（なぜか）、 $[\mathbb Q(\alpha) : \mathbb Q]$ は $[\mathbb Q(\sqrt[3]{2}) : \mathbb Q] = 3$ の約数。
    • $\alpha \notin \mathbb Q$ であることから $[\mathbb Q(\alpha) : \mathbb Q]$ = 3.
  • $\deg f(X) = 3$ であることから、これが $\alpha$ の最小多項式になっている。

3.2 代数閉包の存在

  • 代数閉包の定義。代数閉体である代数拡大。
    • 代数閉体とは、体であって、任意のそれ上の多項式 $f(X)$ に対して $f(\alpha) = 0$ なる $\alpha$ を含むものをいうのだった。

定理：$L_1, M$ を $K$ の拡大体で $M$ は代数閉体とする。

$\varphi\colon L_1 \longrightarrow M$ を $K$ 同型とする。 $L_2/L_1$ が代数拡大で $L_2 = L_1(\alpha)$ なる $\alpha \in L_2$ があれば、 $K$ 同型 $\psi\colon L_2 \longrightarrow M$ で $\varphi$ の拡張となるものがある。

証明：実際にそのような写像を構成する。

$\alpha \in L_2$ の $L_1$ 上の最小多項式を

\[f(X) = X^n + a_1 X^{n - 1} + \dotsb + a_n \in L_1[X]\]

とし、$M$ 係数の多項式 $g(X)$ を

\[g(X) = X^n + \varphi(a_1)X^{n - 1} + \dotsb + \varphi(a_n) \in M[X]\]

とおく。$f(X)$ は $L_1[X]$ 上で既約であり、$L_1 \cong \varphi(L_1)$ から $g(X)$ は $\varphiL_1$ で既約である。 すると $L_1$ 上で $L_1(\alpha) \cong L_1[X]/(f(X)).$

$M$ が代数閉体であることから、$g(\beta) = 0$ なる $\beta \in M$ がある。

以上により、$\varphiL_1/(g(X))$ から $M$ への $\varphi(L_1)$ 準同型 $\omega$ が存在して、 $\omega(x) = \beta$ となる $x \in \varphiL_1/(g(X))$ がある。

$L_1(\alpha) \cong L_1[X]/(f(X)) \cong \varphiL_1/(g(X))$ なので $L_1[X]/(f(X)) \cong \varphiL_1/(g(X))$ と $\omega$ の合成をとれば、これは $\varphi$ の $L_1(\alpha)$ への拡張である。 $\blacksquare$

  • 代数閉包の存在は Steinitz が証明した。
    • すべての体には代数的閉包が存在する。
    • 体 $K$ から枝分かれするように代数拡大の列 $K \subset M_1, K \subset M_2$ がある。 それぞれの代数閉体を $M_1 \subset L_1, M_2 \subset L_2$ とする。 このとき $K$-同型 $\varphi\colon M_1 \longrightarrow M_2$ を $L_1 \longrightarrow L_2$ に拡張するような $K$-同型が存在する。
    • どちらの証明も集合論みたいになる。
  • 代数閉包は同型を除いて一意的に定まる。