桂利行著『代数学 III 体とガロア理論』第二章章末問題の答案。

$(1)$ 次の拡大が Galois 拡大ならばその Galois 群を求めろ。

\[\begin{aligned} \text{(i)}\quad& \mathbb Q\left(\sqrt[3]{5}, \sqrt[3]{5}\omega\right)/\mathbb Q\\ \text{(ii)}\quad& \mathbb Q\left(\sqrt[3]{5}, \sqrt{5}\right)/\mathbb Q\\ \text{(iii)}\quad& \mathbb Q\left(\sqrt{2}, \sqrt{6}\right)/\mathbb Q\\ \text{(iv)}\quad& \mathbb Q\left(\sqrt[3]{5}, \omega\right)/\mathbb Q(\omega)\\ \text{(v)}\quad& \mathbb Q\left(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{3}, \omega\right)/\mathbb Q(\omega)\\ \end{aligned}\]

解：$\text{(i)}:$ $\sqrt[3]{5}, \sqrt[3]{5}\omega$ の最小多項式はともに $X^3 - 5 \in \mathbb Q[X].$ これは分離多項式であるのでこの拡大体は分離拡大である。 また、この拡大体内で一次式の積に因数分解することができるので正規拡大である。 したがってこれは Galois 拡大である。

\[\begin{aligned} \operatorname{Gal}\left(\mathbb Q\left(\sqrt[3]{5}, \sqrt[3]{5}\omega\right)/\mathbb Q\right) &= \langle \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3 \rangle,\\ \sigma_1\left(\sqrt[3]{5}\right) &= \sqrt[3]{5}\omega,\\ \sigma_2\left(\sqrt[3]{5}\right) &= \sqrt[3]{5}\omega^2\\ \sigma_3\left(\sqrt[3]{5}\omega\right) &= \sqrt[3]{5}\omega^2.\\ \end{aligned}\]

これは対称群 $\mathfrak S_3$ に同型な群である。 $\Box$

$\text{(ii)}:$ $\sqrt[3]{5}, \sqrt{5}$ の最小多項式はそれぞれ $X^3 - 5,$ $X^2 - 5$ だが前者の最小多項式が分離的でないので Galois 拡大ではない。 $\Box$

$\text{(iii)}:$ $(X^2 - 2)(X^2 - 6)$ の根はすべてこの拡大体にあるので分離拡大である。 これは一次式の積に因数分解されるので正規拡大である。したがって Galois 拡大である。

拡大次数を計算すると $4$ である。中間体上の Galois 群から求める。 すでにさんざん見てきたように：

\[\def\G#1{ \operatorname{Gal}\left(\mathbb Q\left(\sqrt{2}, \sqrt{6}\right)/\mathbb Q\left({#1}\right)\right) } \begin{aligned} \G{\sqrt{2} } \cong Z_2,\\ \G{\sqrt{6} } \cong Z_2,\\ \end{aligned}\]

位数の関係から Galois 群は $Z_2 \times Z_2,$ Klein の四元群に同型である。 $\Box$

$\text{(iv)}:$ $L/M/K \coloneqq \mathbb Q\left(\sqrt[3]{5}, \omega\right)/\mathbb Q(\omega)/\mathbb Q$ とおく。 $X^3 - 5$ は $M$ 上で分離的かつ $L$ 上で一次式の積に因数分解されるから $L/M$ は Galois 拡大である。

$[L : M] = 3.$ $\sigma \in \operatorname{Aut}_K(L)$ で $\sigma\colon\sqrt[3]{5} \mapsto \sqrt[3]{5}\omega, \omega \mapsto \omega$ が生成する $3$ 次の巡回群が $\operatorname{Gal}(L/M)$ に同型である：

\[\operatorname{Gal}(L/M) \cong Z_3.\quad\Box\]

$\text{(v)}:$ $L/K \coloneqq \mathbb Q\left(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{3}, \omega\right)/\mathbb Q(\omega)$ とおく。

$\mathbb Q$ 上の最小多項式を求めると $(X^3 - 2)(X^3 - 3)$ でありすべての根がこの拡大体に含まれている上分離的である。 当然 $\mathbb Q(\omega)$ 上でもそうであるので、これは Galois 拡大である。

$\operatorname{Gal}(L/\mathbb Q(\sqrt[3]{2})) \cong Z_3,$ $\operatorname{Gal}(L/\mathbb Q(\sqrt[3]{5})) \cong Z_3$ であるから

\[\operatorname{Gal}(L/K) \cong Z_3 \times Z_3.\quad\blacksquare\]