Galois 論の教科書で後回しマークが付きがちな正規底についての学習ノート。

  • $I_n$ で $n$ 次単位行列を表す。

正規底

$L/K$ を $n$ 次分離拡大、$\langle u_1, \dotsc, u_n \rangle$ を基底とする。

$L^{\prime}/K$ を $L$ を含む Galois 拡大とし、$L$ から $L^{\prime}$ の中への同型写像全体を $\lbrace \sigma_1, \dotsc, \sigma_n\rbrace$ とする。

$n$ 次正方行列 $A$ を $(i, j)$ 成分が $\operatorname{Tr}(u_iu_j)$ であるものとする：

\[A \coloneqq (\operatorname{Tr}(u_iu_j)).\]

トレースについては以前のノート参照。とくに $A$ は正則かつ対称行列である。

定義（分離拡大の基底に関する判別式）： $t_1, \dotsc, t_n \in L$ に対して次のようにおく：

\[\begin{aligned} D(t_1, \dotsc, t_n) &\coloneqq \det(\operatorname{Tr}(t_it_j)),\\ \Delta(t_1, \dotsc, t_n) &\coloneqq \det(\sigma_j(t_i)). \end{aligned}\]

この $D$ を拡大 $L/K$ の基底 $\langle u_1, \dotsc, u_n \rangle$ に関する判別式という。

補題（判別式と $\Delta$ の関係）：

\[\tag*{$\spadesuit1$} D(t_1, \dotsc, t_n) = \Delta(t_1, \dotsc, t_n)^2.\]

検討：行列式の対象となる行列を直接計算する。 同型写像、対称行列の性質が効いている。

証明：

\[\begin{aligned} \operatorname{Tr}(t_it_j) &=\left(\sum_{k = 1}^n \sigma_k(t_it_j)\right)\\ &= \begin{pmatrix} \sigma_1(t_1) & \cdots & \sigma_n(t_1)\\ \sigma_1(t_2) & \cdots & \sigma_n(t_2)\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \sigma_1(t_n) & \cdots & \sigma_n(t_n)\\ \end{pmatrix}\!\!\! \begin{pmatrix} \sigma_1(t_1) & \cdots & \sigma_1(t_n)\\ \sigma_2(t_1) & \cdots & \sigma_2(t_n)\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \sigma_n(t_1) & \cdots & \sigma_n(t_n)\\ \end{pmatrix}. \end{aligned}\]

したがって $\spadesuit1$ が示された。 $\blacksquare$

命題（分離拡大の基底の条件）：$\langle t_1, \dotsc, t_n \rangle$ が $L/K$ の基底である条件は $\Delta(t_1, \dotsc, t_n) \ne 0.$

証明：$\implies:$ $\langle t_1, \dotsc, t_n \rangle$ が $L/K$ の基底であると仮定する。 $\operatorname{Tr}(u_iu_j)$ が 非退化対称双線形形式であるから判別式

\[0 \ne D(t_1, \dotsc, t_n) = \Delta(t_1, \dotsc, t_n)^2.\]

したがって $\Delta(t_1, \dotsc, t_n) \ne 0$ が示された。 $\Box$

$\impliedby:$ $\Delta(t_1, \dotsc, t_n) \ne 0$ を仮定する。ある $a_1, \dotsc, a_n \in K$ に対して

\[\sum_{i = 1}^n a_it_i = 0\]

であるとする。これがすべて $0$ に等しいことを示す。

この線形結合の各 $\sigma_i$ による像を考えれば各 $j = 1, \dotsc, n$ に対して次が成り立つ：

\[\sum_{j = 1}^na_j\sigma_i(t_j) = 0.\]

したがって

\[\begin{pmatrix} \sigma_1(t_1) & \cdots & \sigma_1(t_n)\\ \sigma_2(t_1) & \cdots & \sigma_2(t_n)\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \sigma_n(t_1) & \cdots & \sigma_n(t_n)\\ \end{pmatrix}\!\!\! \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix} = \bm 0.\]

仮定より上の係数行列は正則である。ゆえにベクトルは零である。 したがって $\langle t_1, \dotsc, t_n \rangle$ は $K$ 上線形独立であることが示された。 $\blacksquare$

定義（正規底）： $L/K$ を Galois 拡大、$G \coloneqq \operatorname{Gal}(L/K) = \lbrace \sigma_1, \dotsc, \sigma_n\rbrace$ とする。

$u \in L$ に対して $\langle \sigma_1(u), \dotsc, \sigma_n(u) \rangle$ が $L$ の $K$ ベクトル空間としての基底になるとき、これを Galois 拡大 $L/K$ の正規底という。

例：$\mathbb C/\R$ を $X^2 + 1$ の分解体と見る。 このとき $\operatorname{Gal}(\mathbb C/\R) = \lbrace 1, \operatorname{conj}\rbrace.$ $\mathbb C$ の $\R$ ベクトル空間としての基底 $\langle 1, \sqrt{-1} \rangle$ は正規底ではない。

$\langle 1 + \sqrt{-1}, 1 - \sqrt{-1} \rangle$ は正規底である。 なぜならこれはベクトル空間の基底である上に $u = 1 + \sqrt{-1}$ として

\[1(u) = 1 + \sqrt{-1},\quad \operatorname{conj}(u) = 1 - \sqrt{-1}\]

あることによる。

次の定理が本節の目標だろう。

定理（正規底の存在定理）：Galois 拡大には正規底が存在する。

とくに $G \coloneqq \operatorname{Gal}(L/K)$ とおき $K$ 上の群環を $K[G]$ で表すと $K[G]$-加群として

\[K[G] \cong L.\]

検討：

  • 群環だの加群だの不慣れな概念が含まれている。
    • 群環は $\sum rg, r \in R, g \in G$ の形をする元からなる自由加群だ。
    • 自由加群とは基底を持つ加群だ。
    • $R$-加群はベクトル空間のようなものだと思って読む。係数を体ではなく環 $R$ にとる。 本定理の条件では係数は体なのでほんとうにベクトル空間だ。
  • 有限体と無限体とで分けて証明する。

証明：$K$ が有限体か無限体で場合分けをする。

$K$ が有限体のとき：有限次 Galois 拡大なので $G$ は巡回群である。 $n \coloneqq \lvert G \rvert = [L : K],$ $G = \langle \sigma \rangle$ とおく。

Dedekind の補題から $1, \sigma, \sigma^2, \dotsc, \sigma^{n - 1}$ は $K$ 上線形独立である。$\sigma^n = 1$ であるから線形写像 $\sigma$ の最小多項式は $X^n - 1$ であり、固有多項式と等しい。したがって線形代数の理論からベクトル空間 $L$ の $K$ 上のある基底 $\langle \alpha_1, \dotsc, \alpha_n \rangle$ が存在して、線形写像 $\sigma$ のこの基底に関する表現行列が次のように書ける：

\[A \coloneqq \begin{pmatrix} \bm 0 & 1\\ I_{n - 1} & \bm 0\\ \end{pmatrix}.\]

巡回群の性質から

\[\begin{aligned} \alpha_2 &= \sigma(\alpha_1),\\ \alpha_3 &= \sigma(\alpha_2) = \sigma^2(\alpha_1),\\ \dots\\ \alpha_n &= \sigma(\alpha_{n-1}) = \sigma^{n-1}(\alpha_1)\\ \alpha_1 &= \sigma(\alpha_n) \end{aligned}\]

であるから、$\alpha \coloneqq \alpha_1$ に対して

\[\langle \alpha, \sigma(\alpha), \sigma^2(\alpha), \dotsc, \sigma^{n-1}(\alpha) \rangle\]

は有限次 Galois 拡大 $L/K$ の正規底である。 したがって有限次 Galois 拡大には正規底が存在することが示された。 $\Box$

$K$ が無限体のとき：$G \coloneqq \lbrace 1 = \sigma_1, \dotsc, \sigma_n\rbrace$ とおく。 $\lbrace \sigma_1(\theta), \dotsc, \sigma_n(\theta)\rbrace$ が $K$ 上線形独立となる $\theta \in L$ を見つける。

写像 $\sigma_i$ に対して変数 $X_{\sigma_i}$ を対応させる。 その上で多項式 $f(X_{\sigma_1}, \dotsc, X_{\sigma_n})$ を次で定める：

\[f(X_{\sigma_1}, \dotsc, X_{\sigma_n}) \coloneqq \det \begin{pmatrix}X_{\sigma_i^{-1}\sigma_j}\end{pmatrix}.\]

$f(1, 0, \dotsc, 0) = \det I_n = 1$ ゆえ $f$ は恒等的にゼロではない。

$L/K$ の基底の一つを $\langle \alpha_1, \dotsc, \alpha_n \rangle$ とし、 $x_1, \dotsc, x_n$ を変数とする。さらに：

\[\tag*{$\spadesuit2$} \def\eq#1{ \sigma_{#1}(\xi)&= \sum_{i = 1}^n x_i\sigma_{#1}(\alpha_i) } \begin{aligned} \eq{1},\\ \eq{2},\\ \dots\\ \eq{n}. \end{aligned}\]

とおく。$\langle \alpha_1, \dotsc, \alpha_n \rangle$ が基底であることから命題（分離拡大の基底の条件）により：

\[\det\begin{pmatrix}\sigma_i(\alpha_j)\end{pmatrix} \ne 0.\]

つまり $\spadesuit2$ は変数変換として成立している。 $X_{\sigma_i} \coloneqq \sigma_i(\xi)$ とおけば $f$ は $x_i$ の関数 $g$ として次の形に書け、恒等的にゼロとはならない：

\[f(X_{\sigma_1}, \dotsc, X_{\sigma_n}) = g(x_1, \dotsc, x_n).\]

$K$ には元が無数にあるので、ある $a_1, \dotsc, a_n \in K$ が存在して $g(a_1, \dotsc, a_n) \ne 0.$ この $a_i$ を使って $\theta \coloneqq \sum a_i\alpha_i$ とおくと $\langle \sigma_1(\theta), \dotsc, \sigma_n(\theta) \rangle$ が求める正規底であることを示す。

ある $c_i \in K$ が存在して $\sum c_i\sigma_i(\theta) = 0$ が成り立つとする。 任意の $j = 1, \dotsc, n$ に対して $\sigma_j^{-1}$ を考えると $\sum c_i\sigma_j^{-1}\sigma_i(\theta) = 0.$ すなわち

\[\def\row#1{ \sigma_{#1}^{-1}\sigma_1(\theta) & \cdots & \sigma_{#1}^{-1}\sigma_n(\theta) } \begin{pmatrix} \row{1}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \row{n} \end{pmatrix}\!\!\! \begin{pmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{pmatrix} = \bm 0.\]

左辺の正方行列を $B$ とおく。$\det B = g(a_1, \dotsc, a_n) \ne 0$ だから $B$ は正則。したがって $c_i = 0.$ つまり $\sigma_i(\theta)$ は線形独立。

したがって $\langle \sigma_1(\theta), \dotsc, \sigma_n(\theta) \rangle$ は正規底であることが示された。 $\Box$

$K$ 上の線形写像

\[\begin{array}{c} K[G] & \longrightarrow & L\\ \\ \sum a_\sigma \sigma & \longmapsto & \sum a_\sigma\sigma(\theta) \end{array}\]

が $K[G]$-加群としての同型 $K[G] \cong L$ を与える。 $\blacksquare$

参考

  • 桂利行著『代数学 III 体とガロア理論』
  • 雪江明彦著『環と体とガロア理論』