荻上紘一著『多様体』ノート。作業時間が限られているのでメモで済ます。

タイプの都合上、記号の一部は本書と異なる。

Euclid 空間

$n$ 次元 Euclid 空間

$n$ 次元 Euclid 空間を $E^n$ で表すことにする。 $E^n$ は連結かつ局所コンパクトな Hausdorff 空間である。

Euclid 空間における線形変換

  • $GL(n, \R)$ と $O(n)$ の定義。後者は前者の部分群。
  • $GL(n, \R)$ によるベクトルの変換を一般線形変換という。
  • $O(n)$ によるそれを直交変換という。
    • 直交変換は内積と長さを保つ。
    • $O(2)$ による変換は平面上の原点を中心とする回転変換。
  • Affine 変換の定義は $\bm x \longmapsto A\bm x + \bm b$ タイプの変換。 ここで $A \in GL(n, \R)$ だから、scaling を含むことに注意したい。
    • この $GL(n, \R)$ を $O(n)$ に差し替えると等長変換だ。
  • Erlangen 目録の豆知識は重要。Klein 式の幾何学の定義。
  • Affine 幾何学では
    • 直線は直線に保たれる。
    • 二本の平行な直線はやはり平行に保たれる。
    • 線分の分割比が保たれる。
    • （以上のことから）すべての相異なる二つの三角形同士に互いに写る変換が存在する。

接ベクトル

多様体論からの基本的な概念がいきなりここに来る。

まず単なる点 $p \in \R^n$ を始点とする有向線分をもって $\R^n$ の接ベクトルを定義する。 そのようなもの全部の集合を記号 $T_p\R^n$ で表すことにする。 これを点 $p$ における $\R^n$ の接空間という。

  • 接空間はベクトル空間である。
  • $T_p\R^n \cong T_0\R^n \cong \R^n.$

接空間すべてからなる集合を接束とか接バンドルとかという。

\[T\R^n \coloneqq \bigcup_{p \in \R^n}T_p\R^n.\]
  • 先ほどと同様に推論して $T\R^n \cong \R^n \times \R^n.$

ここ注意： 接ベクトル

\[X \coloneqq \sum_{i = 1}^n\xi^i\bm e_i \in T_p\R^n\]

をとる。ここで各係数 $\xi^i \in \R$ で添字を右肩に付けている。 ベクトル $\bm e_i\;(i = 1, \dotsc, n)$ は当該ベクトル空間の標準基底である。

次に $C^\infty$ 級関数 $f \colon \R^n \longrightarrow \R$ をとり、 点 $p$ における $X$ 方向への $f$ の微係数を考える。 この $X$ 方向への微分作用素：

\[\sum_{i = 1}^n\xi^i\!\left(\frac{\partial }{\partial x_i}\right)_p\]

を $X$ と同じものであるとみなす：

\[\begin{aligned} X &= \sum_{i = 1}^n\xi^i\!\left(\frac{\partial }{\partial x_i}\right)_p.\\ Xf &= \sum_{i = 1}^n\xi^i\!\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)_p. \end{aligned}\]

結果的に $\bm e_i$ と $\left(\dfrac{\partial }{\partial x_i}\right)_p$ を同じものとして扱う。 後者が接空間の基底をなすと考えることになる。

  • $X$ は $C^\infty(\R^n)$ から $\R$ への線形写像。

  • $X$ は微分の性質を持つ。Leibniz 則を満たす。

    \[X(fg) = (Xf)g(p) + f(p)(Xg).\]

$\gamma(t)$ を $\R^n$ 内の滑らかな曲線とする。 各点における曲線に対する接ベクトルは各点における接空間のベクトルでもあるので

\[\frac{\mathrm{d}\gamma}{\mathrm{d}t} = \sum_{i = 1}^n \frac{\mathrm{d}x_i}{\mathrm{d}t}\dfrac{\partial }{\partial x_i}.\]

接空間の双対空間を考える。つまり接空間から実数への線形写像すべてからなる空間だ。 この空間にある要素はどういうものか：

$f$ を $C^\infty$ 関数とする。$\mathrm df$ で全微分を表すことにする。 接ベクトル $X \in T_p\R^n$ に対して $(\mathrm df)_p\colon T_p\R^n \longrightarrow \R$ を次で与える：

\[(\mathrm df)_p(X) \coloneqq Xf.\]

こうすると $(\mathrm df)_p$ は線形写像。よって

\[(\mathrm df)_p \in T_p^{\ast}\R^n.\]

とくに接空間の基底と余接空間の基底は双対であることを覚えておく。

\[\begin{aligned} \mathrm dx_i\!\left(\frac{\partial }{\partial x_j}\right) &= \delta_{ij},\\ \left(\frac{\partial }{\partial x_1}\right)_p, \dotsc, \left(\frac{\partial }{\partial x_n}\right)_p &\longleftrightarrow (\mathrm d x_1)_p, \dotsc, (\mathrm d x_n)_p. \end{aligned}\]

関数 $f$ の全微分 $\mathrm df$ と接ベクトル、余接ベクトルの関係は次のようになる：

\[(\mathrm df)_p = \sum_{i = 1}^n \!\left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\right)_p\!(\mathrm dx_i)_p.\]

可微分写像

この節の内容は接ベクトルの写像だろう。

写像 $\varphi\colon\R^n \longrightarrow \R^m$ を次のように定義する：

\[\varphi(x_1, \dotsc, x_n) \coloneqq \begin{pmatrix} y_1 \\ \vdots \\ y_m \end{pmatrix} \coloneqq \begin{pmatrix} \varphi_1(x_1, \dotsc, x_n)\\ \vdots\\ \varphi_m(x_1, \dotsc, x_n) \end{pmatrix}.\]

ここで各 $\varphi_i\colon\R^n \longrightarrow \R$ は $C^\infty$ 級を仮定する。 次に関数 $f \colon \R^m \longrightarrow \R$ を一つ取り、合成関数 $f \circ \varphi$ の微分を検討する。 この計算は微積分の教科書の程度で済み次のようになる：

\[\left(\dfrac{\partial f\circ\varphi}{\partial x_i}\right)_p = \sum_{j = 1}^m\!\left(\dfrac{\partial \varphi_j}{\partial x_i}\right)_p\!\left(\dfrac{\partial f}{\partial y_j}\right)_{\varphi(p)}\]

このことにより $\left(\dfrac{\partial }{\partial x_i}\right)p$ と $\left(\dfrac{\partial }{\partial y_j}\right){\varphi(p)}$ の関係が示された。 次のように線形写像 $(\varphi_\ast)p\colon T_p\R^n \longrightarrow T{\varphi(p)}\R^m$ を定義する：

\[(\varphi_\ast)_p\colon \left(\frac{\partial }{\partial x_i}\right)_p \longmapsto \sum_{j = 1}^m\!\left(\dfrac{\partial \varphi_j}{\partial x_i}\right)_p\!\left(\dfrac{\partial }{\partial y_j}\right)_{\varphi(p)}\]

$(\varphi_\ast)_p$ を $p$ における $\varphi$ の微分ということにする。

「余接版」も考えることができる（写像の方向が反転する）：

\[(\varphi^{\ast})_p\colon T_{\varphi(p)}^{\ast}\R^m \longrightarrow T_{p}^{\ast}\R^n\]

から

\[(\varphi^{\ast})_p(\mathrm dy_j)_{\varphi(p)} = \sum_{i = 1}^n \!\left(\frac{\partial \varphi_j}{\partial x_i}\right)_p(\mathrm dx_i)_p.\]

$\varphi_p^{\ast}$ と $(\varphi_\ast)_p$ は双対写像で、$\varphi$ の $p$ における双対微分であるという。

最後に逆写像定理の Euclid 空間版を習得する。

ベクトル場と微分形式

ベクトル場とは各点に接ベクトルを対応させる写像である。

\[X\colon\R^n \longrightarrow T_p\R^n.\]

ベクトル場は関数 $\xi^i\colon\R^n \longrightarrow \R$ を用いて次のように記す：

\[X = \sum_{i = 1}^n\xi^i\frac{\partial }{\partial x_i}.\]

ベクトル場が $C^\infty$ 級であるとは、この記述での関数 $\xi^i$ それぞれが $C^\infty$ 級であることを意味する。

ベクトル場 $X$ と関数 $f$ について新たに関数 $Xf$ を次のようにして定義する：

\[(Xf)(p) = X_pf, \quad p \in \R^n.\]

この $Xf$ も $C^\infty$ 級関数である。

  • 記号 $C^\infty(\R^n)$ で $\R^n$ 上の $C^\infty(\R^n)$ 級関数全体を表す。
  • 記号 $\mathfrak X(\R^n)$ で $\R^n$ 上の $C^\infty(\R^n)$ 級ベクトル場全体を表す。

$C^\infty(\R^n)$ は $\R$ 上のベクトル空間であり、かつ $C^\infty(\R^n)$ 加群である。 例えば和とスカラー倍を次のように定める：

\[\begin{aligned} (X + Y)_p &\coloneqq X_p + Y_p,\\ (fX)_p &\coloneqq f(p)X_p. \end{aligned}\]

もちろん $X, Y \in \mathfrak X(\R^n),$ $f \in C^\infty(\R^n)$ を意味する。

ベクトル解析で習う勾配、発散、回転を次のように表せる：

\[\def\rotterm#1#2#3{ \!\left(\frac{\partial \xi^{#3}}{\partial x_{#2}} - \frac{\partial \xi^{#2}}{\partial x_{#3}}\right)\! \frac{\partial }{\partial x_{#1}} } \begin{aligned} \operatorname{grad}f &\coloneqq \sum_{i = 1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_i}\frac{\partial }{\partial x_i}.\\ \operatorname{div} X &\coloneqq \sum_{i = 1}^n \frac{\partial \xi^i}{\partial x_i}.\\ \operatorname{rot} X &\coloneqq \rotterm{1}{2}{3} + \rotterm{2}{3}{1} + \rotterm{3}{1}{2} \end{aligned}\]

ここでベクトル場 $\displaystyle X = \sum_{i=1}^n\xi^i\frac{\partial }{\partial x_i}$ を $\operatorname{rot}$ の定義に対して $n = 3$ に限定する。

$1$-form とは写像であって $\R^n$ の点に $T_p^{\ast}\R^n$ の元を対応させるものをいう。 ふつうギリシア文字で表す。

\[\omega = \sum_{i = 1}^n f_i\,\mathrm dx_i.\]

$f_i \in C^\infty(\R^n)$ のとき $\omega$ は $C^\infty$ 級であるという。

記号 $\Omega^1(\R^n)$ で $\R^n$ 上の $1$-form 全体を表すことにする。

次は $2$-form を定義するのだが、少し準備を要する。

記号 $\bigwedge^2 T_p^{\ast}\R^n$ で次のような写像 $\varphi$ 全体を表すものとする：

\[\begin{array}{rcl} \varphi \colon T_p\R^n \times T_p\R^n & \longrightarrow & \R\\ \varphi(X, Y) &=& -\varphi(Y, X). \end{array}\]

次に $\varphi_1, \varphi_2 \in T_p^{\ast}\R^n$ に対する演算 $\wedge$ を次で定義する：

\[(\varphi_1 \wedge \varphi_2)(X_1, X_2) \coloneqq \det(\varphi_i(X_j)) \quad (i, j = 1, 2).\]

これにより $\varphi_1 \wedge \varphi_2 \in \bigwedge^2 T_p^{\ast}\R^n.$

とくに $(\mathrm dx_i)_p \wedge (\mathrm dx_j)_p \in \bigwedge^2 T_p^{\ast}\R^n.$ 交代双線形性から次が成り立つ：

\[\begin{aligned} (\mathrm dx_i)_p \wedge (\mathrm dx_j)_p &= -(\mathrm dx_j)_p \wedge (\mathrm dx_i)_p.\\ (\mathrm dx_i)_p \wedge (\mathrm dx_i)_p &= 0. \end{aligned}\]

$2$-form とは写像であって $\R^n$ の点に $\bigwedge^2 T_p^{\ast}\R^n$ の元を対応させるものをいう。 これもふつうギリシア文字で表す。

\[\omega = \sum_{i \lt j}f_{ij}\,\mathrm dx_i \wedge \mathrm dx_j.\]

ただし $f_{ij} = -f_{ji} \;(i \lt j),$ $f_{ii} = 0$ とおく。

$f_{ij} \in C^\infty(\R^n)$ のとき $\omega$ は $C^\infty$ 級であるという。

記号 $\Omega^2(\R^n)$ で $\R^n$ 上の $2$-form 全体を表すことにする。

以下 $r$-form を定義する。

まず $\bigwedge^rT_p^{\ast}\R^n$ を定義する。それは次のような写像 $\varphi$ 全体を表すものとする：

\[\begin{array}{rcl} \varphi \colon T_p\R^n \times \stackrel{r}{\dotsm} \times T_p\R^n & \longrightarrow & \R\\ \varphi(X_{\sigma(1)}, \dotsc, X_{\sigma(r)}) &=& \operatorname{sgn}(\sigma)\varphi(X_1, \dotsc, X_r). \end{array}\]

ここで $\sigma \in \mathfrak S_r$ とする。

次に $\varphi_1 \wedge \dotsb \wedge \varphi_r$ を定義する：

\[(\varphi_1 \wedge \dotsb \wedge \varphi_r)(X_1, \dotsc, X_r) \coloneqq \det(\varphi_i(X_j))\quad (1 \le i,\;j \le r).\]

これにより

\[\varphi_1 \wedge \dotsb \wedge \varphi_r \in \bigwedge^rT_p^{\ast}\R^n.\]

$\bigwedge^rT_p^{\ast}\R^n$ の基底を確かめる：

\[\langle (\mathrm dx_{i_1})_p \wedge \dotsb \wedge (\mathrm dx_{i_r})_p \,\mid\, 1 \le i_1 \lt \dotsb \lt i_r \le n \rangle.\]

$f_{ij} \in C^\infty(\R^n)$ のとき $\omega$ は $C^\infty$ 級であるという。

記号 $\Omega^r(\R^n)$ で $\R^n$ 上の $r$-form 全体を表すことにする。 $r$-form の元の一般形は次のようになる：

\[\sum_{i_1 \lt \dotsb \lt i_r}f_{i_1\dotso i_r}\, \mathrm dx_{i_1} \wedge \dotsb \wedge \mathrm dx_{i_r}.\]

$r \gt 0$ のときは $\Omega^r(\R^n) = 0.$

$\Omega^r(\R^n)$ はベクトル空間である。和とスカラー（関数）倍が定義される。

微分形式同士の二項演算として微分形式の外積を定義する。互いの次数は一般に異なる。

\[\begin{aligned} \alpha &\coloneqq \sum f_{i_1 \dotso i_r}\,\mathrm dx_{i_1} \wedge \dotsb \wedge \mathrm dx_{i_r},\\ \beta &\coloneqq \sum g_{j_1 \dotso j_s}\,\mathrm dx_{j_1} \wedge \dotsb \wedge \mathrm dx_{j_s}. \end{aligned}\]

このとき $\alpha \wedge \beta$ を次で定義する：

\[\begin{aligned} \alpha \wedge \beta \coloneqq \sum f_{i_1 \dotso i_r}g_{j_1 \dotso j_s} \,\mathrm dx_{i_1} \wedge \dotsb \wedge \mathrm dx_{i_r} \wedge \mathrm dx_{j_1} \wedge \dotsb \wedge \mathrm dx_{j_s}. \end{aligned}\]

ただし右辺の wedge 積部分は反対称性を用いて整理されるものとする。 こうして $\Omega^{r + s}(\R^n)$ の微分形式が対応する。

例：

\[\begin{aligned} \alpha &\coloneqq x_1\mathrm dx_1 + x_2\,\mathrm dx_2 + x_3\,\mathrm dx_3,\\ \beta &\coloneqq x_1\,\mathrm dx_2 \wedge \mathrm dx_3 + x_2\,\mathrm dx_3 \wedge \mathrm dx_1 + x_3\,\mathrm dx_1 \wedge \mathrm dx_2\\ &\implies\\ \alpha \wedge \beta &= \left(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2\right)\,\mathrm dx_1 \wedge \mathrm dx_2 \wedge \mathrm dx_3. \end{aligned}\]

外積の性質

\[\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{rl} (1) & (\alpha \wedge \beta) \wedge \gamma = \alpha \wedge (\beta \wedge \gamma).\\ (2) & \alpha \wedge (\beta + \gamma) = \alpha \wedge \beta + \alpha \wedge \gamma.\\ (3) & \alpha \in \Omega^r(\R^n),\beta \in \Omega^s(\R^n) \implies \alpha \wedge \beta = (-1)^{rs}\beta \wedge \alpha. \end{array}\]

とくに $(3)$ は注意を要する。

引き戻しを説明する。

$\varphi\colon\R^n \longrightarrow \R^m$ を $C^\infty$ 写像とし、 $y_j \coloneqq \varphi_j(x_i)$ とおく。

関数 $f \in \Omega^0(\R^m)$ に対しては

\[\varphi^{\ast}f \coloneqq f \circ \varphi\]

と $\varphi^{\ast}\colon\Omega^0(\R^m) \longrightarrow \Omega^0(\R^n)$ を定義する。

一般には

\[\omega \coloneqq \sum f_{j_1 \dotso j_r}\, \mathrm dy_{j_1} \wedge \mathrm dy_{j_r} \in \Omega^r(\R^m)\]

に対して $\varphi^{\ast}\colon\Omega^r(\R^m) \longrightarrow \Omega^r(\R^n)$ を

\[\begin{aligned} \varphi^{\ast}\omega \coloneqq \sum (\varphi^{\ast}f_{j_1 \dotso j_r})\, \mathrm (\varphi^{\ast}\,\mathrm dy_{j_1}) \wedge \dotsb \wedge (\varphi^{\ast}\,\mathrm dy_{j_r}). \end{aligned}\]

と定義する。この $\varphi^{\ast}\omega$ を $\varphi$ による $\omega$ の引き戻しという。 本書では変数の置換のようなものだと説明している。

例： $\varphi: \R^2 \longrightarrow \R^2,$ $y_i = \varphi_i(x_j)$ とする。

\[\begin{aligned} \varphi^{\ast}\mathrm dy_1 \wedge \mathrm dy_2 &= \varphi^{\ast}\mathrm dy_1 \wedge \varphi^{\ast}\mathrm dy_2\\ &= \left(\frac{\partial y_1}{\partial x_1}\,\mathrm dx_1 + \frac{\partial y_1}{\partial x_2}\,\mathrm dx_2\right) \wedge \left(\frac{\partial y_2}{\partial x_1}\,\mathrm dx_1 + \frac{\partial y_2}{\partial x_2}\,\mathrm dx_2\right)\\ &= \left(\frac{\partial y_1}{\partial x_1}\frac{\partial y_2}{\partial x_2} - \frac{\partial y_1}{\partial x_2}\frac{\partial y_2}{\partial x_1}\right)\mathrm dx_1 \wedge \mathrm dx_2. \end{aligned}\]

引き戻しの性質

$\varphi\colon\R^n \longrightarrow \R^m$ を $C^\infty$ 写像とする。

\[\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{rl} (1) & \varphi^{\ast}(\alpha + \beta) = \varphi^{\ast}(\alpha) + \varphi^{\ast}(\beta).\\ (2) & \varphi^{\ast}(\alpha \wedge \beta) = \varphi^{\ast}(\alpha) \wedge \varphi^{\ast}(\beta).\\ \end{array}\]

次の写像

\[\mathrm d\colon \Omega^r(\R^n) \longrightarrow \Omega^{r+1}(\R^n)\]

を外微分という：

\[\begin{aligned} \omega &\coloneqq \sum f_{i_1 \dotso i_r}\,\mathrm dx_{i_1} \wedge \mathrm dx_{i_r}\\ &\longmapsto\\ \mathrm d\omega &\coloneqq \sum \mathrm df_{i_1 \dotso i_r} \wedge \mathrm dx_{i_1} \wedge \mathrm dx_{i_r}. \end{aligned}\]

例：

\[\begin{aligned} \mathrm d\left(\sum f_i\,\mathrm dx_i\right) &= \sum \frac{\partial f_i}{\partial x_j}\,\mathrm dx_j \wedge \mathrm dx_i\\ &= \frac{1}{2}\sum \left(\frac{\partial f_j}{\partial x_i} - \frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)\mathrm dx_i \wedge \mathrm dx_j. \end{aligned}\] \[\begin{aligned} \mathrm d\left(\sum f_{ij}\mathrm dx_i \wedge \mathrm dx_j\right) &= \sum \mathrm df_{ij} \wedge \mathrm dx_i \wedge \mathrm dx_j\\ &= \sum \frac{\partial f_{ij}}{\partial x_k}\,\mathrm dx_i \wedge \mathrm dx_j \wedge \mathrm dx_k. \end{aligned}\]

外微分の性質

\[\def\arraystretch{1.5} \begin{array}{rl} (1) & \mathrm d(\alpha + \beta) = \mathrm d\alpha + \mathrm d\beta.\\ (2) & \alpha \in \Omega^r(\R^n)\implies \mathrm d(\alpha \wedge \beta) = \mathrm d\alpha \wedge \beta + (-1)^r\alpha \wedge \mathrm d\beta.\\ (3) & \mathrm d\circ\mathrm d = 0.\\ (4) & \mathrm d\circ \varphi^{\ast} = \varphi^{\ast} \circ \mathrm d. \end{array}\]
\[\Omega(\R^n) \coloneqq \bigcup_{r = 0}^n \Omega^r(\R^n).\]

Hodge 作用素を定義する。記号 $\ast$ で表す。線形（これはだいじ）写像

\[\ast\colon\Omega(\R^n) \longrightarrow \Omega(\R^n)\]

を次の三つをすべて満たす写像であると定義する：

\[\def\expr#1#2{ \mathrm dx_{#1} \wedge \dotsb \wedge \mathrm dx_{#2} } \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{rl} (1) & \ast(\expr{i}{j}) = \expr{l}{k},\\ (2) & (\expr{i}{j}) \wedge \ast(\expr{l}{k}) = \expr{1}{n},\\ (3) & \ast1 = \expr{1}{n},\;\ast(\expr{1}{n}) = 1.\\ \end{array}\]

明らかにわかりづらい。例で覚える：

  • $n = 2$ のとき $\ast(\mathrm dx_1) = \mathrm dx_2$ だが $\ast(\mathrm dx_2) = -\mathrm dx_1$ であることにまず注意する。 これでコツをつかむ。
  • $n = 3$ のとき
    • $\ast(\mathrm dx_1) = \mathrm dx_2 \wedge \mathrm dx_3,$ etc.
    • $\ast(\mathrm dx_1 \wedge \mathrm dx_2) = \mathrm dx_3,$ etc.

ベクトル解析と Hodge 作用素との関係性

\[X \coloneqq \sum \xi^i \frac{\partial }{\partial x_i} \in \mathfrak X(\R^n)\]

に

\[X^\sharp \coloneqq \sum \xi^i \,\mathrm dx_i \in \Omega^1(\R^n)\]

を対応させる。このとき

\[\begin{aligned} (\operatorname{grad}f)^\sharp &= \mathrm df.\\ \operatorname{div}X &= \ast\mathrm d \ast X^\sharp. \end{aligned}\]

$n = 3$ 限定で

\[(\operatorname{rot}X)^\sharp = \ast\mathrm dX^\sharp.\]

ベクトル解析における公式

\[\begin{aligned} \operatorname{rot}\circ\operatorname{grad} &= 0\\ \operatorname{div}\circ\operatorname{rot} &= 0 \end{aligned}\]

は $\mathrm d \circ \mathrm d = 0$ に他ならない。

Poincaré の補題： $\omega \in \Omega^r(\R^n)$ とする。このとき

\[\mathrm d\omega = 0 \iff \exists\alpha\in\Omega^{r-1}(\R^n)(\omega = \mathrm d\alpha).\]

ただし $\omega$ はある条件を満たす領域上で定義されていなければならない （確か星型連結領域だったと記憶している）。

微分形式の積分

領域 $D \subset \R^n$ における 1-form $\omega \in f\,\mathrm dx_1 \wedge \dotsb \wedge \mathrm dx_n \in \Omega^n(\R^n)$ の積分を次で定義する：

\[\int_D\!\omega \coloneqq \int\dotsi\int_D\!f\,\mathrm dx_1\dotso\mathrm dx_n.\]

ここで右辺の積分らしい式は「微積分」の $n$ 重積分を表す。

曲線 $\gamma(t) = (x_1(t), x_2(t))$ の区間 $t \in {(a, b)}$ における $\omega \in \Omega^1(\R^2)$ の積分、つまり線積分を次で定義する：

\[\int_\gamma\!\omega \coloneqq \int_a^b\!\gamma^{\ast}\omega = \int_a^b\!\left(\omega_1\frac{\mathrm{d}x_1}{\mathrm{d}t} + \omega_2\frac{\mathrm{d}x_2}{\mathrm{d}t}\right)\mathrm dt.\]

ここで $\omega = \omega1\,\mathrm dx_1 + \omega2\,\mathrm dx_2$ だと思われる。

$\R^3$ 内の曲面 $\phi(u_1, u_2) \coloneqq (x_1(u_1, u_2), x_2(u_1, u_2), x_3(u_1, u_2))$ 上で定義された $\omega \in \Omega^2(\R^3)$ の積分を次で定義する：

\[\begin{aligned} \int_{\phi(D)}\!\omega &\coloneqq \int_D\!\phi^{\ast}\omega\\ &= \iint_D\! \left( \omega_1\frac{\partial (x_2, x_3)}{\partial (u_1, u_2)} + \omega_2\frac{\partial (x_3, x_1)}{\partial (u_1, u_2)} + \omega_3\frac{\partial (x_1, x_2)}{\partial (u_1, u_2)} \right)\mathrm du_1\mathrm du_2. \end{aligned}\]

ただし右辺の $\dfrac{\partial (x_1, x_2)}{\partial (u_1, u_2)}$ などは「微積分」の教科書に定義される Jacobian と思われる。

これらの積分の一般形は次のようにする。

$C^\infty$ 同相写像 $\varphi\colon\R^n \longrightarrow \R^n$ として

\[\begin{aligned} \int_D\!\varphi^{\ast}\omega &\coloneqq \int\dotsi\int_D\!(f \circ \varphi) \det\!\left(\frac{\mathrm{d}y_j}{\mathrm{d}x_i}\right)\mathrm dx_1\dotsm\mathrm dx_n\\ &= \int_{\varphi(D)}\!\omega. \end{aligned}\]

ただし最後の等号では符号の差が生じる。$\varphi$ の内容による。

Stokes の定理は各種積分定理の素のような定理だ。

$\omega \in \Omega^{n-1}(\R^n)$ と境界 $\partial D$ が滑らかな連結領域 $D \in \R^n$ に対して次が成り立つ：

\[\int_D\!\mathrm d\omega = \int_{\partial D}\!\iota^{\ast}\omega.\]

ここで $\iota\colon\partial D \xhookrightarrow{\quad} \R^n$ は包含写像とする。

$n = 1$ の場合が微分積分学の基本定理である。

$n = 3$ のある場合は Gauss の発散定理と同じものである。 $X \coloneqq \sum \xi^i\partial x_i$ のとき Stokes の定理から次が成り立つ：

\[\begin{aligned} \int_D\!\mathrm d\ast X^\sharp &= \int_{\partial D}\!\iota^{\ast}(\ast X^\sharp),\\ \end{aligned}\]

左辺を展開すると次のようになる：

\[\begin{aligned} \int_D\!\mathrm d\ast X^\sharp &= \iiint_D\!\left(\sum_{i = 1}^3 \frac{\partial \xi^i}{\partial x_i}\right)\mathrm dx_1\mathrm dx_2\mathrm dx_3\\ &= \iint_{\partial D}\!( \xi^1\,\mathrm dx_2\mathrm dx_3 + \xi^2\,\mathrm dx_3\mathrm dx_1 + \xi^3\,\mathrm dx_1\mathrm dx_2). \end{aligned}\]

Stokes の定理から関数論の Cauchy の積分定理を導くこともできる。

第一章は以上。