荻上紘一著『多様体』ノート。今日のぶんは特にだいじなところだ。急所・要点を逃さないようにする。

タイプ作業の都合上、記号の一部は VS Code の snippet になっていたりするために本書と異なる。

曲線

基本事項

平面曲線 (planar curve) とは実数の開区間から平面への写像であって

  • 全体では $C^0$ 級だが区分的に $C^\infty$ 級であって、
  • 微分可能な点においては、その微分係数がゼロではない

ものを指すとする。

接ベクトル (tangent vector) とは前章の意味での接ベクトルでもあるが、 むしろ曲線の接線の方向ベクトルと解釈して構わない。

例えば $\bm x = (x(t), y(t))$ のようにパラメーター表示された平面曲線を考える。 パラメーター $t$ における接ベクトルは前章の記号を用いると次で表される：

\[\def\component#1{ \frac{\mathrm{d}{#1}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial }{\partial{#1} } } \dot \bm x \coloneqq \frac{\mathrm{d}\bm x}{\mathrm{d}t} = \component{x} + \component{y}\]

曲線のパラメーター表示においては、パラメーターとして弧長を採用するのが具合が良い。

\[s(t) = \int_a^t\!\left\lVert\frac{\mathrm{d}\bm x(t)}{\mathrm{d}t}\right\rVert\,\mathrm dt.\]

利点を端的に言うと接ベクトルが常に単位ベクトルになり扱いやすい。 以下、弧長パラメーターを $s$ で表す。

曲線 $\bm x(s)$ に対して

\[\bm e_1 \coloneqq \frac{\mathrm{d}\bm x}{\mathrm{d}s}\]

がパラメーター $s$ における接ベクトルである。そして単位ベクトル $\bm e_2$ を 「$\bm e_1$ を正の向きに $90$ 度回転変換したもの」で定義する。

Frenet 標構 (Frenet frame)：上記で定義した単位ベクトルが曲線の各点で正規直交基底

\[\langle \bm e_1, \bm e_2 \rangle\]

を定める。

次の等式を Frenet-Serret の公式という：

\[\def\frame{ \!\begin{pmatrix}\bm e_1 \\ \bm e_2\end{pmatrix}\! } \def\arraystretch{1.5} \mathrm d\!\frame\! = \!\begin{pmatrix} 0 & \kappa\,\mathrm ds\\ -\kappa\,\mathrm ds & 0 \end{pmatrix}\! \!\frame\!.\]

導出手順を記す。まずは $\bm e_1$ の微分と $\bm e_1 \perp \bm e_2$ であることからから次が導かれる：

\[\begin{aligned} &\phantom{\therefore}\bm e_1 \cdot \bm e_1 = 1.\\ &\therefore \frac{\mathrm{d}\bm e_1}{\mathrm{d}s} \cdot \bm e_1 + \bm e_1 + \frac{\mathrm{d}\bm e_1}{\mathrm{d}s} = 0.\\ &\therefore \frac{\mathrm{d}\bm e_1}{\mathrm{d}s} \cdot \bm e_1 = 0.\\ &\therefore \frac{\mathrm{d}\bm e_1}{\mathrm{d}s} \perp \bm e_1.\\ &\therefore \exists \kappa \in \R\left(\frac{\mathrm{d}\bm e_1}{\mathrm{d}s} = \kappa \bm e_2\right). \end{aligned}\]

同様にして $\bm e_2 \cdot \bm e_2 = 1$ から

\[\exists \mu \in \R\left(\frac{\mathrm{d}\bm e_2}{\mathrm{d}s} = \mu\bm e_1\right).\]

他方で $\bm e_1 \cdot \bm e_2 = 0$ から

\[\begin{aligned} &\phantom{\therefore}\frac{\mathrm{d}\bm e_1}{\mathrm{d}s}\cdot \bm e_2 + \bm e_1 \cdot \frac{\mathrm{d}\bm e_2}{\mathrm{d}s} = 0.\\ &\therefore \kappa\bm e_2 \cdot \bm e_2 + \bm e_1 \cdot \mu\bm e_1 = \kappa + \mu = 0.\\ &\therefore \kappa + \mu = 0. \end{aligned}\]

上記実数 $\kappa$ を曲率 (curvature) という。

$\bm e_1$ が $x$ 軸となす角を $\theta$ とすると（つまり $\bm e_1 = (\cos\theta, \sin\theta)$ とおくと）次が成り立つ：

\[\kappa = \frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}s}.\]

曲率がゼロでなければ、その逆数を曲率半径 (radius of curvature) という。

曲線の弧長によるパラメーター表示がわからなくても $\dfrac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$ は得られる。これを利用して所望の計算が果たせることが期待できる。

本書の例は楕円だが、曲率を計算する手順をまとめると次のようになる：

  1. 陰関数表示をパラメーター $t$ による表示に書き換える。
  2. $\displaystyle \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)^2}$ を計算する。
  3. $\displaystyle \bm e_1 = \frac{\mathrm{d}\bm x}{\mathrm{d}s}\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}$ を計算する。
  4. $\bm e_2$ を $\bm e_1$ に対する回転変換として求める。
  5. 等式 $\displaystyle \kappa \bm e_2 = \frac{\mathrm{d}\bm e_1}{\mathrm{d}s} = \frac{\mathrm{d}\bm e_1}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}$ から $\kappa$ を得る。

この手順は一般の平面曲線に対して適用できる。

平面曲線の基本定理とは、二つの平面曲線が合同である条件を述べる定理だ。 それは次のようなものだ：

二つの平面曲線が合同である $\iff$ 対応する点同士の曲率が等しい

Frenet-Serret の公式と常微分方程式の解の一意的存在定理を組み合わせて証明する。

（ここから空間曲線）

空間曲線の定義は上述の平面曲線のそれにおいて $\R^2$ を $\R^3$ に置き換えたものだ。

空間曲線の接ベクトルは、したがって次のような表記をとる：

\[\def\component#1{ \frac{\mathrm{d}{#1}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial }{\partial{#1} } } \dot \bm x \coloneqq \frac{\mathrm{d}\bm x}{\mathrm{d}t} = \component{x} + \component{y} + \component{z}\]

空間曲線に対する弧長および弧長パラメーターの考えも平面曲線と同様にする。

空間曲線に対する接ベクトル $\bm e_1$ も平面曲線のそれと同様にする。

空間曲線の曲率 $\kappa$ は平面曲線のときとは同様にできないので次のように変える。 まず $\kappa$ を接ベクトルの微分の大きさとして定義する：

\[\kappa \coloneqq \left\lVert\frac{\mathrm{d}\bm e_1}{\mathrm{d}s}\right\rVert.\]

$\kappa = 0$ ならば曲線はこの点近傍で直線であるということなので、以下の議論は成り立たない。

主法線ベクトル (principal normal -)： 以下 $\kappa \ne 0$ を仮定する。$\bm e_2$ を $\dfrac{\mathrm{d}\bm e_1}{\mathrm{d}s}$ 方向の単位ベクトルとして定義する。すなわち：

\[\frac{\mathrm{d}\bm e_1}{\mathrm{d}s} = \kappa \bm e_2.\]

陪法線 a.k.a. 従法線ベクトル (binormal -) $\bm e_3$ を次で定義する：

\[\bm e_3 \coloneqq \bm e_1 \times \bm e_2\]

正規直交基底 $\langle \bm e_1, \bm e_2, \bm e_3 \rangle$ は空間曲線版の Frenet 標構である。

空間曲線版（通常版）Frenet-Serret の公式は次の等式になる：

\[\def\frame{ \!\begin{pmatrix}\bm e_1 \\ \bm e_2 \\ \bm e_3 \end{pmatrix}\! } \mathrm d\frame = \!\begin{pmatrix} 0 & \kappa\,\mathrm ds & 0\\ -\kappa\,\mathrm ds & 0 & \tau\,\mathrm ds\\ 0 & -\tau\,\mathrm ds & 0\\ \end{pmatrix}\! \frame.\]

証明：主張の一行目は $\kappa$ の定義から成り立つ。 $\Box$

主張の二行目を $\bm e_2 \cdot \bm e_2 = 1$ から示す。

\[\begin{aligned} \phantom{\therefore}\bm e_2 \cdot \bm e_2 = 1\\ \therefore \frac{\mathrm{d}\bm e_2}{\mathrm{d}s}\cdot\bm e_2 = 0.\\ \therefore \frac{\mathrm{d}\bm e_2}{\mathrm{d}s} \perp\bm e_2.\\ \end{aligned}\]

$\langle \bm e_1, \bm e_2, \bm e_3 \rangle$ は orthonormal だから

\[\exists\lambda\exists\tau\left( \frac{\mathrm{d}\bm e_2}{\mathrm{d}s} = \lambda \bm e_1 + \tau\bm e_3 \right).\]

一方 $\bm e_1 \cdot \bm e_2 = 0$ から

\[\begin{aligned} &\phantom{\therefore}\frac{\mathrm{d}\bm e_1}{\mathrm{d}s}\cdot \bm e_2 + \bm e_1 \cdot \frac{\mathrm{d}\bm e_2}{\mathrm{d}s} = 0.\\ &\therefore \kappa \bm e_2 \cdot \bm e_2 + \bm e_1 \cdot (\lambda \bm e_1 + \tau\bm e_3) = 0.\\ &\therefore \kappa + \lambda = 0.\\ \end{aligned}\]

したがって $\dfrac{\mathrm{d}\bm e_2}{\mathrm{d}s} = -\kappa \bm e_1 + \tau\bm e_3$ が示された。 $\Box$

次に三行目を $\bm e_3 \cdot \bm e_3 = 1$ と $\bm e_1 \cdot \bm e_3 = 0$ から示す。

\[\begin{aligned} &\phantom{\therefore}\bm e_3 \cdot \bm e_3 = 1.\\ &\therefore\frac{\mathrm{d}\bm e_3}{\mathrm{d}s} = 0.\\ &\therefore \exists\mu\exists\nu\left( \frac{\mathrm{d}\bm e_3}{\mathrm{d}s} = \mu\bm e_1 + \nu \bm e_2\right). \end{aligned}\] \[\begin{aligned} &\phantom{\therefore}\bm e_1 \cdot \bm e_3 = 0.\\ &\therefore 0 = \frac{\mathrm{d}\bm e_1}{\mathrm{d}s}\cdot\bm e_3 + \bm e_1\cdot\frac{\mathrm{d}\bm e_3}{\mathrm{d}s}\\ &= \kappa \bm e_2 \cdot \bm e_3 + \bm e_1 \cdot (\mu\bm e_1 + \nu\bm e_2)\\ &= \mu. \end{aligned}\]

他方で $\bm e_2 \cdot \bm e_3 = 0$ から

\[\begin{aligned} 0 &= \frac{\mathrm{d}\bm e_2}{\mathrm{d}s}\cdot \bm e_3 + \bm e_2 \cdot \frac{\mathrm{d}\bm e_3}{\mathrm{d}s}\\ &= (-\kappa\bm e_1 + \tau \bm e_3)\cdot\bm e_3 + \bm e_2\cdot\nu\bm e_2\\ &= \tau + \nu.\\ \therefore \nu &= -\tau. \end{aligned}\]

したがって $\dfrac{\mathrm{d}\bm e_3}{\mathrm{d}s} = -\tau\bm e_2$ が示された。 $\blacksquare$

捩率 (tortion of curvature) とは上記の $\tau$ をいう。

本書の例ではパラメーター表示された常螺旋から Frenet 標構を求めている。計算手順をまとめるとこうなる：

\[\def\arraystretch{2.5} \begin{darray}{rl} (1) & \frac{\mathrm{d}\bm x}{\mathrm{d}t}\\ (2) & \frac{\mathrm ds}{\mathrm dt}\\ (3) & \bm e_1 \coloneqq \frac{\mathrm{d}\bm x}{\mathrm{d}s} = \frac{\mathrm{d}\bm x}{\mathrm{d}t}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}s}\\ (4) & \frac{\mathrm{d}\bm e_1}{\mathrm{d}s}\\ (5) & \kappa, \bm e_2\\ (6) & \bm e_3 \coloneqq \bm e_1 \times \bm e_2\\ (7) & \frac{\mathrm{d}\bm e_3}{\mathrm{d}s}\\ (8) & \tau \end{darray}\]

曲線が平面曲線である条件は $\tau = 0$ である。 証明するには $\bm e_3$ が定数であることを示せばいい。

空間曲線の基本定理も同様の推論により証明される。 $\kappa$ および $\tau$ が対応するパラメーター同士で一致すれば曲線は合同である。

以上