荻上紘一著『多様体』ノート。今回は毛色が変わった題材だ。

タイプ作業の都合上、記号の一部は VS Code の snippet になっていたりするために本書と異なる。

第 2 章 曲線（続）

§ 2.2 等周不等式

再び平面曲線に戻る。

定理（等周不等式）：$C^1$ 級の単純閉曲線の長さとそれが囲む面積をそれぞれ $L,$ $A$ とする。このとき次が成り立つ：

\[\tag*{$\spadesuit$} L^2 \ge 4\pi A.\]

等号成立は曲線が円のときかつそのときに限る。

検討：単純閉曲線が凸であるときを示せば十分だ。 凹んでいる曲線の囲む面積のほうが同じ周長を持つ凸曲線の囲む面積よりも小さい。

曲線の単純性を仮定するのは Stokes の定理を適用するので必要だ。

Cauchy-Schwarz の不等式を用いる：

\[\lvert ax + by\rvert \le \sqrt{a^2 + b^2}\sqrt{x^2 + y^2}.\]

$C^1$ 級である仮定は「曲線の長さが確定すること」まで弱めることができる。

証明： 凸な単純閉曲線 $\Gamma$ を平行な二直線 $p, q$ で挟む。接点をそれぞれ $P, Q$ とする。 それからこれらの直線に二点 $P_1, Q_1$ で接する円 $\tilde\Gamma$ を考える。 この円の半径を $r$ とおく。

TODO: ここに図を入れる。

曲線 $\Gamma$ を弧長パラメーター表示しておく。あわせて各接点に対応するパラメーターを定める：

\[\Gamma\colon \bm x(s) = (x(s), y(s)), P = \bm x(0) = \bm x(L),\;Q = \bm x(s_0).\]

これに対して円 $\tilde\Gamma$ の弧長パラメーター表示が次のように制約される：

\[\begin{aligned} \tilde\Gamma\colon \tilde\bm x &= (\tilde x(s), \tilde y(s)),\\ \tilde x(s) &= x(s),\\ \tilde y(s) &= \begin{cases} -\sqrt{r^2 - x(s)^2}, & 0 \le s \le s_0,\\ \sqrt{r^2 - x(s)^2}, & s_0 \le s \le L.\\ \end{cases} \end{aligned}\]

$\Gamma$ の囲む領域と面積をそれぞれ $D, A$ とおき、 $\tilde\Gamma$ の囲む領域と面積をそれぞれ $\tilde D, \tilde A$ とおく。 Stokes の定理から次が成り立つ：

\[\begin{aligned} A &= \int_D\!\mathrm dx \wedge \mathrm dy = \int_D\!\mathrm d(x\,\mathrm dy)\\ &= \int_\Gamma\!x\,\mathrm dy = \int_0^L\!x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s}\,\mathrm ds.\\ \tilde A &= \pi r^2 = \int_{\tilde D}\!\mathrm d\tilde x \wedge \mathrm d\tilde y\\ &= -\int_{\tilde D}\!\mathrm d(\tilde y\,\mathrm d\tilde x)\\ &= -\int_{\tilde\Gamma}\!\tilde y\,\mathrm d\tilde x = -\int_0^L\! \tilde y\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s}\,\mathrm ds, & \because \tilde x = x. \end{aligned}\]

面積の和を評価すると、

\[\def\integrand{ \left(x\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s} - \tilde y\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s}\right) } \begin{aligned} A + \pi r^2 &= \int_0^L\! \integrand \mathrm ds\\ &\le \left\lvert \int_0^L\! \integrand \mathrm ds \,\right\rvert \le \int_0^L\! \left\lvert \integrand \right\rvert \mathrm ds\\ &\le \int_0^L\! \sqrt{x^2 + \tilde y^2}\sqrt{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s}^2 + \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s}^2}\,\mathrm ds\\ &= \int_0^L\! \sqrt{x^2 + \tilde y^2}\,\mathrm ds = \int_0^L\! \sqrt{\tilde x^2 + \tilde y^2}\,\mathrm ds\\ &= \int_0^L\!r\mathrm ds = rL.\\ \therefore A + \pi r^2 &\le rL. \end{aligned}\]
  • 三つ目の不等号は Cauchy-Schwarz の不等式による。
  • 二つ目の等号は $s$ が $\Gamma$ の弧長パラメーターであることによる。

一方、相加平均と相乗平均の不等式から

\[\begin{aligned} \frac{A + \pi r^2}{2} \ge \sqrt{A\pi r^2}\\ \therefore A + \pi r^2 \ge 2r\sqrt{\pi A}. \end{aligned}\]

したがって

\[\begin{aligned} rL &\ge A + \pi r^2 \ge 2r\sqrt{\pi A}\\ \therefore L &\ge 2\sqrt{\pi A}\\ \therefore L^2 &\ge 4\pi A. \end{aligned}\]

したがって $\spadesuit$ が成り立つことが示された。 $\Box$

等号成立が円のときに限ることを示す。

不等式 $\spadesuit$ での等号の成立条件は Schwarz の不等式および相加平均・相乗平均の不等式の両方において等式が成立することが条件である。

Schwarz の不等式における等号成立条件は

\[x\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s} = -\tilde y \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s}.\]

ところで $x^2 + \tilde y^2 = r^2$ を微分することで

\[x\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s} + \tilde y \frac{\mathrm{d}\tilde y}{\mathrm{d}s} = 0\]

を得ることから

\[\tilde y \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s} = \tilde y \frac{\mathrm{d}\tilde y}{\mathrm{d}s}.\]

が示された。$s \notin \lbrace 0, s_0, L\rbrace$ のとき $\tilde y(s) \ne 0$ であるから

\[\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s} = \frac{\mathrm{d}\tilde y}{\mathrm{d}s}, \quad s \notin \lbrace 0, s_0, L\rbrace.\]

$\Gamma$ と $\tilde \Gamma$ はそれぞれ $C^1, C^\infty$ 級の曲線であると仮定したので両辺を $s$ で積分することができる。$C$ を積分定数として

\[y(s) = \tilde y(s) + C.\]

となる。この等式は $\Gamma$ が $\tilde \Gamma$ を $y$ 軸方向に平行移動したものであることを示している。 すなわち $\Gamma$ は円であることが示された。

逆に $\Gamma$ が円であると仮定すると、$\tilde\Gamma$ の定め方から $\spadesuit$ において等式が成立することが明らかである。

したがって等号成立は $\Gamma$ が円のときかつそのときに限ることが示された。 $\blacksquare$

以上