荻上紘一著『多様体』ノート。今回は有名な定理がポツポツ出てくる。

タイプ作業の都合上、記号の一部は VS Code の snippet になっていたりするために本書と異なる。

第 2 章 曲線（続）

§ 2.4 積分幾何

Bertrand の問題：平面上で単位円と直線が交わるとき弦の長さが $\sqrt{3}$ 以上となる確率。

Bertrand paradox (probability) - Wikipedia を読むといい。 問題点とシミュレーションを代わりにやってくれている。

いずれにせよ「直線集合の測度」を明確にしないといけない。 その測度が Euclid 幾何学と両立するには等長変換で不変である必要がある。

命題：$xy$ 平面上の直線を $x\cos\theta + y\sin\theta = p$ と表す。 直線集合の測度として適切なものはこの記号を用いて次のように表せる：

\[\tag*{$\spadesuit1$} \int \mathrm dp \wedge \mathrm d\theta.\]

この測度は等長変換で不変である。 逆に等長変換で不変な直線集合の測度は $\spadesuit1$ の定数倍に限る。

検討：平面上の直線の集合と集合 $\lbrace (p, \theta)\,\mid\, 0 \le p,\;0 \le \theta \lt 2\pi\rbrace$ との間には一対一対応が存在する。単位円と交わる直線の集合は前者の部分集合、 集合 $\lbrace (p, \theta)\,\mid\, 0 \le p \le 1/2,\;0 \le \theta \lt 2\pi\rbrace$ は後者の部分集合であり、これらの間にも一対一対応が存在する。

証明：直線 $l(p, \theta)\colon x\cos\theta + y\sin\theta = p$ に対して検討で挙げたように $(p, \theta)$ を対応させる写像を考える。 これにより直線集合 $\Delta$ と $p\theta$ 平面の集合 $D$ とが一対一対応すると仮定する。

平面上の等長変換 $\varphi$ を次のように定義する：

\[\begin{pmatrix} \cos\alpha & -\sin\alpha\\ \sin\alpha & \cos\alpha \end{pmatrix}\! \begin{pmatrix} \tilde x \\ \tilde y \end{pmatrix}\!+ \!\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}\! = \!\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\!.\]

これにより直線 $l(p, \theta)$ は直線 $\tilde l(\tilde p, \tilde\theta)$ に写すとする。$(\tilde p, \tilde\theta)$ を求めると：

\[\begin{aligned} \tilde\theta &= \theta - \alpha,\\ \tilde p &= p - a\cos\theta - b\sin\theta. \end{aligned}\]

変換 $\varphi$ により集合 $\Delta, D$ はそれぞれ集合 $\tilde\Delta, \tilde D$ に写るとする。 変換 $\varphi$ の Jacobian 行列式を求めると

\[\det\frac{\partial (\tilde p, \tilde \theta)}{\partial (p, \theta)} = \begin{vmatrix} 1 & a\sin\theta + b\cos\theta\\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1.\]

したがって

\[\def\expr#1#2#3{\int_{#1}\!\mathrm d{#2} \wedge \mathrm d{#3} } \expr{D}{p}{\theta} = \expr{\tilde D}{\tilde p}{\tilde \theta}.\]

したがって $\spadesuit1$ はこの変換により不変であることが示された。 $\Box$

逆に $xy$ 平面上の直線集合の測度

\[\int\!f(p, \theta)\,\mathrm dp \wedge \mathrm d\theta\]

が変換 $\varphi$ で不変であると仮定する。

\[\def\expr#1#2#3{\int_{#1}\!f({#2}, {#3})\mathrm d{#2} \wedge \mathrm d{#3} } \expr{D}{p}{\theta} = \expr{\tilde D}{\tilde p}{\tilde \theta}.\]

積分変数の変換により

\[\def\expr#1#2#3{\int_{#1}\!f({#2}, {#3})\mathrm d{#2} \wedge \mathrm d{#3} } \begin{aligned} \expr{\tilde D}{\tilde p}{\tilde \theta} &= \int_D\!f(\tilde p, \tilde\theta)\,\mathrm dp \wedge \mathrm d\theta.\\ \therefore \int_D\!\left(f(p, \theta) - f(\tilde p, \tilde\theta)\right)\,\mathrm dp \wedge \mathrm d\theta &= 0.\\ \end{aligned}\]

集合 $D$ は任意であるから

\[\tag*{$\spadesuit2$} f(p, \theta) = f(\tilde p, \tilde\theta).\]

一方、等長変換群が直線集合に対して推移的に作用することから、等式 $\spadesuit2$ は $f$ がすべての直線に対して同じ値を取ることを意味する。

したがって $f$ が定数であることが示された。 $\blacksquare$

以下、平面上の直線集合の測度として $\spadesuit1$ を採用する。

定理 (Crofton)：曲線 $\Gamma$ は区分的 $C^1$ 級であり長さが $L$ とする。 直線 $l$ を曲線 $\Gamma$ と交わるものとする。このとき次が成り立つ：

\[\tag*{$\spadesuit3$} \int_{\Gamma \cap l \ne \varnothing}\!n_\Gamma(l)\,\mathrm dp \wedge \mathrm d\theta = 2L.\]

ここで $n_\Gamma(l)$ は $\Gamma$ と $l$ が交わる点の個数とする。 なお、同一点で $k$ 回交わるならば $k$ と勘定するものとする

検討：

  • 標語的に言うと「曲線 $\Gamma$ に交わる直線の本数は長さ $L$ で決まる」
  • 文献によっては右辺が $4L$ となっている。これは直線の向きを区別するとそうなる（以下の証明の定数のとり方が決める）。

証明：曲線 $\Gamma$ を次のように弧長パラメーター表示する。

\[\Gamma\colon \bm r = \bm r(x(s), y(s)).\]

直線表示は先述の表記を採用するものとする。

点 $\bm r(s) \in \Gamma \cap l$ における $\Gamma$ の接線方向角を $\tau = \tau(s),$ この接線と直線 $l(p, \theta)$ とのなす角を $\phi$ とおくと

\[\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}s} = \cos\tau,\; \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}s} = \sin\tau,\; \tau + \phi = \theta \pm \frac{\pi}{2}.\]

TODO: 図示する

ここで角パラメーター $\phi$ を $0$ から $\pi$ まで動かせば点 $\bm r(s)$ を通過する直線すべてを得られる（この変域は直線の方向を考慮していない版だ）。

微分形式 $\mathrm dp, \mathrm d\theta, \mathrm dp \wedge \mathrm d\theta$ を計算する。

\[\begin{aligned} \mathrm dp &= \mathrm d(x\cos\theta + y\sin\theta)\\ &= \mathrm dx \cos\theta + x\,\mathrm d\cos\theta + \mathrm dy\sin\theta + y\,\mathrm d\sin\theta\\ &= \cos\tau\cos\theta\,\mathrm ds - x\sin\theta\,\mathrm d\theta + \sin\tau\sin\theta\,\mathrm ds + y\cos\theta\,\mathrm d\theta\\ &= \cos(\tau - \theta)\,\mathrm ds - (x\sin\theta - y\cos\theta)\,\mathrm d\theta.\\ \mathrm d\theta &= \mathrm d\left(\tau + \phi \pm \frac{\pi}{2}\right)\\ &= \mathrm d\tau + \mathrm d\phi\\ &= \frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}s}\,\mathrm ds + \mathrm d\phi.\\ \mathrm dp \wedge \mathrm d\theta &= \left(\cos(\tau - \theta)\,\mathrm ds - (x\sin\theta - y\cos\theta)\,\mathrm d\theta\right) \wedge \left(\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}s}\,\mathrm ds + \mathrm d\phi\right)\\ &= \cos(\tau - \theta)\,\mathrm ds \wedge \mathrm d\phi\\ &= \cos\left(-\phi \pm \frac{\pi}{2}\right)\mathrm ds \wedge \mathrm d\phi\\ &= \pm\sin\phi\,\mathrm ds \wedge \mathrm d\phi. \end{aligned}\]

これが $\Gamma$ と交わる直線集合の測度である。 $\phi, s$ についてそれぞれ $0$ から $\pi$ までと $0$ から $L$ まで積分すれば $\Gamma$ と交わる直線の本数を、交点の個数ぶん倍にして数え上げることに等しい。 したがって

\[\begin{aligned} \int_{\Gamma \cap l \ne \varnothing}\!n_\Gamma(l)\,\mathrm dp \wedge \mathrm d\theta &= \int_0^L\!\mathrm ds\int_0^\pi\!\sin\phi\,\mathrm d\phi\\ &= L \cdot \Big[-\cos\phi\Big]_0^\pi\\ &= 2L. \end{aligned}\]

したがって $\spadesuit3$ が示された。 $\blacksquare$

系：長さ $L$ の凸閉曲線と交わる直線の集合の測度は $L$ に等しい。

証明：与えられた曲線を $\Gamma$ とおく。これは区分的に $C^1$ 級曲線である。

また、$\Gamma$ 上の任意の点について、ほとんどすべての（測度論用語）直線との交点は $2$ に等しいから Crofton の公式を適用して次が示される：

\[\begin{aligned} \phantom{\therefore}&\int_{\star}\!2\,\mathrm dp \wedge \mathrm d\theta = 2L.\\ \therefore &\int_{\star}\!\,\mathrm dp \wedge \mathrm d\theta = L. \quad\blacksquare \end{aligned}\]

問：凸閉曲線 $\Gamma_1$ の囲む領域内に別の凸閉曲線 $\Gamma_2$ がある。 このとき $\Gamma_1$ に交わる直線が $\Gamma_2$ にも交わる確率はいくらか。

解：測度＝確率は長さで決まる。

\[\def\len{ \operatorname{len} } P(\Gamma_1 \cap \Gamma_2 \cap l \ne \varnothing) = \frac{\len(\Gamma_2)}{\len(\Gamma_1)}. \quad\blacksquare\]

問：凸閉曲線 $\Gamma_1$ の囲む領域内に（単なる）曲線 $\Gamma_2$ がある。 このとき $\Gamma_1$ と交わる直線は $\Gamma_2$ と平均何回交差するか。

解：$\displaystyle \int_{\Gamma_2 \cap l \ne \varnothing}!n_{\Gamma_2}(l)\,\mathrm dp \wedge \mathrm d\theta$ を $\displaystyle \int_{\Gamma_1 \cap l \ne \varnothing}!\,\mathrm dp \wedge \mathrm d\theta$ で割ればその回数に等しい値である。

\[\def\len{ \operatorname{len} } \frac{2\len(\Gamma_2)}{\len(\Gamma_1)}. \quad\blacksquare\]

問 (Buffon)：間隔 $a$ の平行線が平面上に無数にある。この平面上に長さ $l\;(l \lt a)$ の針 $N$ を落とす。針が直線と交わる確率はいくつか。

解：図のように解釈することができる。

TODO: 図示（直径 $a$ の円 $\Gamma_1$ が平行線に挟まれていて、針 $N$ が適当に横たわっている）

したがって前問を直接適用することにより、求める確率は：

\[\def\len{ \operatorname{len} } P(\Gamma_1 \cap N \ne \varnothing) = \frac{2\len(N)}{\len(\Gamma_1)} = \frac{2l}{\pi a}. \quad\blacksquare\]

定義：支持関数 (supporting function)。

任意性がかなりあるので覚えにくいかもしれない。

次の小問二つで支持関数を体で理解する：

問：楕円の中心に関する支持関数

解：楕円を $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ とおいてよい。 このとき中心に関する支持関数 $h(\theta)$ は $x\cos\theta + y\sin\theta = h(\theta)$ と表される。

支持直線と楕円の接点を $(a\cos\alpha, b\sin\alpha)$ とおく。 この点を支持直線が通過することから

\[a\cos\alpha\cos\theta + b\sin\alpha\sin\theta = h(\theta).\]

支持直線と接点における接ベクトルが平行であることから

\[a\sin\alpha\cos\theta - b\cos\alpha\sin\theta = 0.\]

この二式から $\alpha$ を消去して $h(\theta)$ を表せる：

\[\begin{aligned} & h(\theta)^2 + 0^2 = a^2\cos^2\theta + b^2\sin^2\theta.\\ \therefore\; & h(\theta) = \sqrt{a^2\cos^2\theta + b^2\sin^2\theta}. \quad\blacksquare \end{aligned}\]

問：Reuleaux 三角形の支持関数

解：場合分けが面倒なので略。やり方は：

  • 外接円の半径を $a$ とおく。弦の長さは $2a$ である。
  • 教科書の図の点線で描かれる直線をまず $x$ と $y$ の式で表す。この式が複数ある。
  • その式に $x = h(\theta)\cos\theta$ などを代入して $h(\theta)$ について解く。

問：凸閉曲線 $\Gamma$ の $\theta$ 方向の支持直線について、その支持点が微分可能であるとする。

このとき支持点における曲率半径は $h(\theta) + h^{\prime\prime}(\theta)$ に等しい。

証明：$\Gamma$ の弧長パラメーター表示を $\bm r(s) = (x(s), y(s))$ とおく。 支持点における Frenet 標構を $\bm e_1, \bm e_2$ とする。

$\bm e_1$ が $x$ 軸となす角を $\alpha$ とすると $\alpha = \pi/2 + \theta$ が成り立つから

\[\bm e_1 = \!\begin{pmatrix}-\sin\theta\\\cos\theta\end{pmatrix}\!,\quad \bm e_2 = \!\begin{pmatrix}-\cos\theta\\-\sin\theta\end{pmatrix}\!.\]

支持関数の定義から $h(\theta) = -\bm r \cdot \bm e_2.$ したがって、ある数 $a$ が存在して $\bm r = a\bm e_1 - h(\theta)\bm e_2.$

$h(\theta)$ を $\theta$ で微分する。

\[\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}h(\theta)}{\mathrm{d}\theta} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}(-\bm r \cdot \bm e_2) = -\frac{\mathrm{d}\bm r}{\mathrm{d}\theta}\cdot \bm e_2 - \bm r \cdot \frac{\mathrm{d}\bm e_2}{\mathrm{d}\theta}\\ &= -\frac{\mathrm{d}\bm r}{\mathrm{d}s}\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}\cdot \bm e_2 + \bm r \cdot \!\begin{pmatrix}-\sin\theta\\\cos\theta\end{pmatrix}\\ &= -\frac{\mathrm{d}\bm r}{\mathrm{d}s}\bm e_1 \cdot \bm e_2 + \bm r \cdot \bm e_1\\ &= 0 + (a\bm e_1 - h(\theta)\cdot \bm e_2)\cdot \bm e_1\\ &= a.\\ \therefore \; \bm r &= \frac{\mathrm{d}h(\theta)}{\mathrm{d}\theta}\bm e_1 - h(\theta)\bm e_2. \end{aligned}\]

次に $\bm r$ の $\theta$ に関する微分を考える。

\[\def\h{ h(\theta) } \begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\bm r}{\mathrm{d}\theta} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}\theta}\!\left(\frac{\mathrm{d}\h}{\mathrm{d}\theta}\bm e_1 - \h\bm e_2\right)\\ &= \frac{\mathrm{d}^2\h}{\mathrm{d}\theta^2}\bm e_1 + \frac{\mathrm{d}\h}{\mathrm{d}\theta}\frac{\mathrm{d}\bm e_1}{\mathrm{d}\theta} - \frac{\mathrm{d}\h}{\mathrm{d}\theta}\bm e_2 - \h\frac{\mathrm{d}\bm e_2}{\mathrm{d}\theta}\\ &= \!\left(\h + \frac{\mathrm{d}^2 \h}{\mathrm{d}^2\theta}\right)\!\bm e_1. \end{aligned}\]

一方

\[\frac{\mathrm{d}\bm r}{\mathrm{d}\theta} = \frac{1}{\kappa}\bm e_1\]

であるから

\[\def\h{ h(\theta) } \begin{aligned} \frac{1}{\kappa}\bm e_1 &= \!\left(\h + \frac{\mathrm{d}^2 \h}{\mathrm{d}^2\theta}\right)\!\bm e_1.\\ \therefore\;\frac{1}{\kappa} &= \h + \frac{\mathrm{d}^2 \h}{\mathrm{d}^2\theta}.\\ \end{aligned}\]

これが示したかった等式である。 $\blacksquare$

問：定幅曲線の対点における曲率半径の和は幅に等しい。

証明：定幅曲線の微分可能な点における支持関数だけを考えればよい。 そのような点における $\theta$ 方向の支持関数 $h(\theta)$ について

\[\def\h{ h(\theta) } \frac{1}{\kappa(\theta)} = \h + \frac{\mathrm{d}^2 \h}{\mathrm{d}^2\theta}.\]

対点 $\theta + \pi$ 方向について

\[\def\h{ h(\theta + \pi) } \frac{1}{\kappa(\theta + \pi)} = \h + \frac{\mathrm{d}^2 \h}{\mathrm{d}^2\theta}.\]

定幅曲線の幅を $d$ とおく。上の二式の両辺同士を加えて $d = h(\theta) + h^{\prime\prime}(\theta)$ を二回微分して得られる等式

\[h^{\prime\prime}(\theta) + h^{\prime\prime}(\theta + \pi) = 0\]

を適用すれば次の等式を得る。

\[\frac{1}{\kappa(\theta)} + \frac{1}{\kappa(\theta + \pi)} = h(\theta) + h(\theta + \pi) = d.\]

したがって幅 $d$ の定幅曲線の対点における曲率半径の和は $d$ に等しいことが示された。 $\blacksquare$

定理 (Cauchy)：長さ $L$ の凸閉曲線の支持関数 $h(\theta)$ に対して

\[\int_0^{2\pi}\!h(\theta)\,\mathrm d\theta = L.\]

証明：Crofton の公式の系から直ちに導かれる。 $\blacksquare$

問：長さ $L$ の $C^2$ 級凸閉曲線に対して Cauchy の公式を微分幾何学的に証明しろ。

検討：二問前の結果 $\kappa(\theta)^{-1} = h(\theta) + h^{\prime\prime}(\theta)$ を使う。

曲率半径を区間にわたって積分すると、その区間に対応する曲線の長さになる。

証明：

\[\begin{aligned} L &= \int_0^L\!\mathrm ds = \int_0^{2\pi}\!\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}\theta}\,\mathrm d\theta\\ &= \int_{0}^{2\pi}\!\frac{\mathrm d\theta}{\kappa(\theta)}\\ &= \int_{0}^{2\pi}\!(h(\theta) + h^{\prime\prime}(\theta))\,\mathrm d\theta\\ &= \int_{0}^{2\pi}\!h(\theta)\,\mathrm d\theta + \Big[h^{\prime}(\theta)\Big]_0^{2\pi}. \end{aligned}\]

$h(\theta)$ は周期 $2\pi$ の周期関数であるから括弧部分はゼロである。 $\blacksquare$

定理 (Barbier)：幅 $d$ の定幅曲線の長さは $\pi d$ である。

証明：定幅曲線の支持関数 $h(\theta)$ を周期 $2\pi$ の周期関数とみなせる。 Cauchy の公式から

\[\begin{aligned} & L = \int_0^{2\pi}\!h(\theta)\,\mathrm d\theta = \int_0^{2\pi}\!h(\theta + \pi)\,\mathrm d\theta.\\ \therefore\; & \int_0^{2\pi}\!(h(\theta) + h(\theta + \pi)) = 2L.\\ \therefore\; & \int_0^{2\pi}\!d\,\mathrm d\theta = 2L.\\ \therefore\; & L = \frac{2\pi d}{2} = \pi d. \quad\blacksquare \end{aligned}\]

定理 (Blaschke-Lebesgue)：与えられた幅をもつ定幅曲線の中で囲む面積が最小のものは Reuleaux 三角形である。

証明：TBW

問：百円硬貨を幅と厚みを変えないまま Reuleaux 三角形に改鋳するとき浮くコストはどれほどか。

解：半径 $a$ の円に内接する Reuleaux 三角形の面積を計算する。 正三角形の一辺は $2a$ である。

正三角形の面積は $\sqrt{3}a^2.$

扇形の面積は $\pi(2a)^2/6 = 2\pi a^2/3.$

切り取り部分は $2\pi a^2/3 - \sqrt{3}a^2 = a^2(2\pi/3 - \sqrt{3}).$

Reuleaux 三角形の面積は

\[\begin{aligned} 3a^2\left(\frac{2\pi}{3} - \sqrt{3}\right) + \sqrt{3}a^2 &= 2\pi a^2 - 3\sqrt{3}a^2 + \sqrt{3}a^2\\ &= 2\pi a^2 - 2\sqrt{3}a^2\\ &= 2a^2(\pi - \sqrt{3}). \end{aligned}\]

外接円の面積は $\pi a^2$ だから、

\[\frac{2a^2(\pi - \sqrt{3})}{\pi a^2} = \frac{2(\pi - 3)}{\pi} \approx 0.09014.\]

したがって約 $9\%$ 浮く。 $\blacksquare$

余談については Wikipedia が詳しい： Curve of constant width - Wikipedia

以上