荻上紘一著『多様体』ノート。

タイプ作業の都合上、記号の一部は VS Code の snippet になっていたりするために本書と異なる。 例えば、本エントリーでいうと $\Omega^n(M)$ は多様体 $M$ 上の $n$-form 全体を表す。

第 3 章 三次元 Euclid 空間内の曲面

§3.1 $\R^3$ の二次元多様体 定義と例

球 $S^2$ について

  • 陰関数表示すると $x^2 + y^2 + z^2 = a^2.$
  • グラフ表示 $z = f(x, y)$ は $S^2$ 全体に対しては実現不能。
  • パラメーター表示 $(x(u, v), y(u, v), z(u, v))$ も同様に実現不能。

$D$ を $\R^2$ 内の領域とし、$D$ を定義域とする $C^\infty$ 級二変数関数 $x, y, z$ を考える。

$\R^3$ の集合 $M$ を次で定義する：

\[M \coloneqq \{(x(u, v), y(u, v), z(u, v)) \in \R^3\,|\, (u, v) \in D\}.\]

$u$-曲線とはパラメーター $v$ を定数で固定して得られる $M$ 上の曲線をいう。 同様にして $v$-曲線も定義される。

$M$ 上の点を $\bm r = (x, y, z)$ とすると、$u$ 方向の接ベクトル $\bm r_{u}$ が定義される：

\[\def\c#1{ \frac{\partial {#1} }{\partial u}\frac{\partial }{\partial {#1} } } \bm r_u = \frac{\partial \bm r}{\partial u} = \c{x} + \c{y} + \c{z}.\]

同様にして $\bm r_v$ も定まる。

以下、$M$ 上で接ベクトル $\bm r_u, \bm r_v$ が一次独立であることが前提となる。

定義： $D \subset \R^2$ を領域とする。$C^\infty$ 級写像

\[\begin{array}{c} \varphi\colon& D & \longrightarrow & \R^3\\[1.0ex] & (u, v) & \longmapsto & \bm r(u, v) \end{array}\]

が $D$ の各点において Jacobian 行列の階数が $2$ であるとする。すなわち

\[\operatorname{rank}\frac{\partial (x, y, z)}{\partial (u, v)} = 2\]

とする。このような $\varphi$ を座標写像といい、$\varphi(D)$ を曲面片、$(u, v)$ を $\varphi$ の座標系という。

上記の階数の関する制約は、曲面片が縮退したり特異点を持ったりすることの否定である。

定義：曲面片の和集合を曲面という。

とくに、各点が相対位相に関して曲面片となる近傍をもつ $\R^3$ の集合を正則な曲面という。

命題：$M \coloneqq \bigcup_\alpha M_\alpha$ とする。 ここで各 $M_\alpha$ は $\R^3$ 内の曲面片であるとする。

また各座標写像 $\varphi_\alpha\colon D_\alpha \longrightarrow M_\alpha$ を

\[\def\par{ u_\alpha, v_\alpha } (\par) \longmapsto (x(\par), y(\par), z(\par))\]

とする。このとき $M_\alpha \cap M_\beta \ne \varnothing$ ならば写像

\[\varphi_\beta^{-1} \circ \varphi_\alpha \circ \varphi_\alpha^{-1}\colon M_\alpha \cap M_\beta \longrightarrow \varphi_\beta^{-1}(M_\alpha \cap M_\beta)\]

は $C^\infty$ 級同相写像である。

検討：昔やった。読書ノートのほうに残してあるはずだ。

証明：写像 $\varphi_\beta^{-1} \circ \varphi_\alpha$ は $C^\infty$ 級である。

\[\frac{\partial (x, y, z)}{\partial (u_\alpha, v_\alpha)} = \frac{\partial (x, y, z)}{\partial (u_\beta, v_\beta)} \frac{\partial (u_\beta, v_\beta)}{\partial (u_\alpha, v_\alpha)}\]

およびこの左辺の階数が $2$ であるという仮定から次が成り立つ。

\[\operatorname{rank}\frac{\partial (u_\beta, v_\beta)}{\partial (u_\alpha, v_\alpha)} = 2 = \dim\R^2.\]

逆写像定理から $\varphi_\beta^{-1} \circ \varphi_\alpha$ は同相写像である。 $\blacksquare$

定義：この合成写像 $\varphi_\beta^{-1} \circ \varphi_\alpha \circ \varphi_\alpha^{-1}$ を座標系 $(u_\alpha, v_\alpha)$ から座標系 $(u_\beta, v_\beta)$ への座標変換という。

Jacobian 行列

\[\frac{\partial (u_\beta, v_\beta)}{\partial (u_\alpha, v_\alpha)}\]

をこの座標変換の行列という。

曲面の例が続く。プロットをしたい。

  • 楕円面 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1.$
  • 一葉双曲面 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1.$
  • 二葉双曲面 $\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1.$
  • 楕円放物面 $\displaystyle z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}.$
  • 双曲放物面 $\displaystyle z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}.$
  • 円環面 $(x, y, z) = ((R + r\cos v)\cos u, (R + r\cos v)\sin u, r\sin v).$

以上はすべて正則曲面の例である。

定義：昔やったので用語だけ。各点 $p \in M$ について

  • 接平面 (tangent plane) $T_pM$ とは、$p = \bm r$ のとき $\bm r_u, \bm r_v$ の張る二次元ベクトル空間をいう。
  • 接ベクトル (tangent vector) とは、$T_pM$ の元をいう。
  • 自然基底とは、$\bm r_u, \bm r_v$ のことをいう。
  • 接束 (tangent bundle) とは、次の概念 $TM$ を言う：
\[TM \coloneqq \bigcup_{p \in M}T_pM.\]

$M_\alpha \cap M_\beta$ におけるそれぞれの基底の関係は座標変換の行列で表せる：

\[\tag*{(3.1.9)} \def\coords#1{ \begin{pmatrix} \bm r_{u_{#1}} & \bm r_{v_{#1}} \end{pmatrix} } \coords{\alpha}\coords{\beta} = \frac{\partial (u_\beta, v_\beta)}{\partial (u_\alpha, v_\alpha)}.\]

接ベクトル $\bm r_u$ は写像

\[\varphi^\ast\colon T_{(u, v)}\R^2 \longrightarrow T_pM\]

の $\R^2$ 標準基底 $\dfrac{\partial }{\partial u}$ の像としてとらえられる：

\[\varphi^\ast\!\left(\frac{\partial }{\partial u}\right)\! = \bm r_u.\]

$f$ を $M = \varphi(D)$ 上の $C^\infty$ 関数とする。 すると合成関数 $f \circ \varphi$ は $D \subset \R^2$ 上の関数である。

接ベクトル

\[T_pM \ni X \coloneqq \xi\bm r_u + \eta \bm r_v = \xi\varphi_\ast\!\left(\frac{\partial }{\partial u}\right)\! + \eta \varphi_\ast\!\left(\frac{\partial }{\partial v}\right)\]

に対して $Xf$ を

\[\def\b#1{ \frac{\partial }{\partial #1}(f\circ\varphi) } Xf \coloneqq \xi\b{u} + \eta\b{v}\]

と定義する。接ベクトル $X$ を $M$ 上の $C^\infty$ 級関数に作用する微分作用素とみなせる。

とくに $\bm r_u$ は $f$ を $u$-曲線に沿って微分する微分作用素である。

微分形式について。

$D \subset \R^2$ を領域、$\mathrm du, \mathrm dv \in \Omega^2(D)$ とする。 このとき

\[\exists \theta^1 \in \Omega^1(M) \exists \theta^2 \in \Omega^1(M) \left(\varphi^\ast\theta^1 = \mathrm du \land \varphi^\ast\theta^2 = \mathrm dv\right).\]

これらの微分形式は各点 $p \in M$ において余接空間 $T_p^\ast M$ の基底をなし、$\bm r_u, \bm r_v \in T_pM$ に対する双対基底である。

全微分の記法の注意。

\[\mathrm d\varphi = \mathrm d\bm r = \bm r_u\,\mathrm du + \bm r_v\,\mathrm dv\]

と書くことが慣例化しているが、左辺と右辺はそれぞれ $M \subset \R^3, D \subset \R^2$ の元であるから不正確である。 次の表現が正式な内容である：

\[\begin{aligned} \mathrm d\bm r &= \bm x_u\theta^1 + \bm r_v\theta^2.\\ \varphi^\ast \mathrm d\bm r &= \bm r_u\,\mathrm du + \bm r_v\,\mathrm dv. \end{aligned}\]

さっきの等式は $D$ と $\varphi(D)$ を同一視するようなものだ。

向き付けについて。

定義：各座標変換の行列式の符号を正であるような曲面片の和集合として曲面を表せるとき、 この曲面は向き付け可能 (orientable) であるという。

命題：曲面が向き付け可能である条件は、曲面に連続かつ零点をもたない法ベクトル場が存在することである。

証明：いつもの記号を用いる。

$M_\alpha \cap M_\beta \ne \varnothing$ ならば $(3.1.9)$ より

\[\def\J{ \frac{\partial (u_\beta, v_\beta)}{\partial (u_\alpha, v_\alpha)} } \bm r_{u_\beta} = \J \bm r_{u_\alpha},\quad \bm r_{v_\beta} = \J \bm r_{v_\alpha}.\]

したがって

\[\def\J{ \frac{\partial (u_\beta, v_\beta)}{\partial (u_\alpha, v_\alpha)} } \begin{aligned} \bm r_{u_\beta} \times \bm r_{v_\beta} &= \J\bm r_{u_\alpha} \times \J\bm r_{v_\alpha}\\ &= \J(\bm r_{u_\alpha} \times \bm r_{v_\alpha}). \end{aligned}\]

$M$ が向き付け可能であるという仮定から

\[\def\expr#1{ \bm r_{u_{#1} } \times \bm r_{v_{#1} } } \def\alphaside{ \expr{\alpha} } \def\betaside{ \expr{\beta} } \frac{\alphaside}{\lVert \alphaside \rVert} = \frac{\betaside}{\lVert \betaside\rVert}.\]

したがって $M$ 上で連続な単位法ベクトル場が定まる。 $\Box$

逆を示すには Jacobian 行列式が正であることを示す。

$M$ 上に連続な単位法ベクトル場 $\nu$ が存在するとき、各 $M_\alpha$ において次が成り立つようにパラメーター $u_\alpha, v_\alpha$ をとれる：

\[\def\expr#1{ \bm r_{u_{#1} } \times \bm r_{v_{#1} } } \def\alphaside{ \expr{\alpha} } \nu = \frac{\alphaside}{\lVert \alphaside \rVert}\]

したがって $M_\alpha \cap M_\beta \ne \varnothing$ において

\[\def\J{ \frac{\partial (u_\beta, v_\beta)}{\partial (u_\alpha, v_\alpha)} } \def\expr#1{ \bm r_{u_{#1} } \times \bm r_{v_{#1} } } \def\alphaside{ \expr{\alpha} } \def\betaside{ \expr{\beta} } \def\unitvector#1{ \frac{ {#1} }{\lVert {#1} \rVert} } \begin{aligned} \unitvector{\alphaside} = \nu &= \unitvector{\betaside}\\ &= \J \frac{\alphaside}{\lVert \betaside \rVert}.\\ \therefore \det \J &\gt 0. \end{aligned}\]

$M_\alpha \cap M_\beta \ne \varnothing$ は任意だから、 $M$ を各座標変換の行列式の符号を正であるような $M_\alpha$ の和集合として曲面を表せることが示された。 $\blacksquare$

これも昔見た：

$C^\infty$ 級関数 $f$ が $\R^3$ の領域で定義され、$f^{-1}(0)$ の各点で $\operatorname{rank}f_\ast = 2$ であるならば、$f^{-1}(0)$ は向き付け可能な正則曲面である。

例えば $f(x, y, z) \coloneqq x^2 + y^2 + z^2 - 1$ のそれは向き付け可能な正則曲面である。

以上