荻上紘一著『多様体』ノート。

タイプ作業の都合上、記号の一部は VS Code の snippet になっていたりするために本書と異なる。

第 3 章 三次元 Euclid 空間内の曲面（続）

§3.4 正規直交標構を用いる記述法

曲面 $M$ 上の点 $\bm r(u, v)$ における $u$-曲線と $v$-曲線は一般には直交しない： 接ベクトル $\bm r_u, \bm r_v \in T_pM$ は自然標構 (natural frame) と呼ばれる。

定義：正規直交標構 (orthonormal frame)： $M$ 上のベクトル場 $\bm e_1, \bm e_2$ で、各点 $p \in M$ で接平面 $T_pM$ の正規直交基底であるものをいう。

話を簡単にするために、$\bm e_1, \bm e_2$ は $\bm r_u, \bm r_v$ と同じ向きであると仮定する。$\bm e_3 \coloneqq \bm e_1 \times \bm e_2$ と定義する（前節の $\bm n$ と等しい）。

定義：これらのベクトル場の組 $\langle \bm e_1, \bm e_2, \bm e_3 \rangle$ を正規直交標構場 (orthonormal frame field) という。

接空間の自然標構および正規直交標構から、余接空間の双対基底を求める。

各 $T_pM$ において、さきほどの話を簡単にするための仮定からある $p^i_j \in \R\;(i = 1, 2)$ が存在して次を満たす：

\[\begin{aligned} \begin{pmatrix}\bm r_u & \bm r_v \end{pmatrix}\! = \!\begin{pmatrix}\bm e_1 & \bm e_2 \end{pmatrix}\! \!\begin{pmatrix} p^1_1 & p^1_2\\ p^2_1 & p^2_2 \end{pmatrix}\!. \end{aligned}\]

右辺の二次正方行列を $P$ とおくと、向きの仮定から固有値の符号が等しい：正定値行列である。

一方、$\varphi^{\ast}\theta^1 = \mathrm du,$ $\varphi^{\ast}\theta^2 = \mathrm dv$ なる $\theta^1, \theta^2$ を使って位置ベクトルの外微分を表すと、

\[\begin{aligned} \mathrm d\bm r &= \bm r_u\theta^1 + \bm r_v\theta^2\\ &= (p^1_1\bm e_1 + p^2_1\bm e_2)\theta_1 + (p^1_2\bm e_1 + p^2_2\bm e_2)\theta_2\\ &= (p^1_1 + p^1_2)\bm e_1 + (p^2_1 + p^2_2)\bm e_2. \end{aligned}\]

ここで正規直交基底ベクトルの各係数を $\omega^1, \omega^2 \in \Omega^1(M)$ とおく：

\[\begin{pmatrix}\omega^1 \\ \omega^2\end{pmatrix} \coloneqq P\!\begin{pmatrix}\theta^1 \\ \theta^2\end{pmatrix}\!.\]

これにより位置ベクトルの外微分を次のように書ける。

\[\tag*{(3.4.3)} \mathrm d\bm r = \omega^1\bm e_1 + \omega^1\bm e_2.\]

接空間 $T_pM$ の二つの基底 $\langle \bm r_u, \bm r_v \rangle$ と $\langle \bm e_1, \bm e_2 \rangle$ が与えられ、 余接空間 $T_p^{\ast}M$ にそれぞれの双対基底 $\langle \theta^1, \theta^2 \rangle$ と $\langle \omega^1, \omega^2 \rangle$ が与えられた。

\[\def\arraystretch{1.5ex} \begin{array}{ccc} \left\langle\dfrac{\partial }{\partial u}, \dfrac{\partial }{\partial v}\right\rangle & \longleftrightarrow & \left\langle\mathrm du, \mathrm dv\right\rangle\\ \varphi_\ast\downarrow & & \uparrow\varphi^\ast\\ \left\langle\bm r_u, \bm r_b\right\rangle & \longleftrightarrow & \left\langle\theta^1, \theta^2\right\rangle\\ (p^i_j)\uparrow & & \downarrow(p^i_j)\\ \left\langle\bm e_1, \bm e_2\right\rangle & \longleftrightarrow & \left\langle\omega^1, \omega^2\right\rangle \end{array}\]

例（球面 $S^2$ の正規直交標構場とその双対基底）：

\[\begin{aligned} \mathrm d\bm r &= \bm r_u\,\mathrm du + \bm r_v\,\mathrm dv\\ &= \!\begin{pmatrix}- a \sin{u} \cos{\left(v \right)}\\a \cos{u} \cos{\left(v \right)}\\0\end{pmatrix}\!\mathrm du + \!\begin{pmatrix}- a \sin{\left(v \right)} \cos{u}\\- a \sin{u} \sin{\left(v \right)}\\a \cos{\left(v \right)}\end{pmatrix}\!\mathrm dv\\ &= a\!\begin{pmatrix}-\sin u \\ \cos u \\ 0\end{pmatrix}\!\cos v\,\mathrm du + a\!\begin{pmatrix}-\cos u\sin v \\ -\sin u\sin v \\ \cos v\end{pmatrix}\!\mathrm dv. \end{aligned}\]

なので、最後の行のベクトルをそれぞれ順に $\bm e_1, \bm e_2$ とおき、 同じく微分形式を順に $\omega^1, \omega^2$ とおけば $\bm e_1, \bm e_2$ は正規直交標構場、$\omega^1, \omega^2$ はそれと双対な $1$-form となり $(3.4.3)$ を満たす。さらに標構同士の関係は次になる。

\[\!\begin{pmatrix}\bm r_u & \bm r_v\end{pmatrix}\! = \!\begin{pmatrix}\bm e_1 & \bm e_2\end{pmatrix}\! \!\begin{pmatrix} a\cos v & 0\\ 0 & a \end{pmatrix}\!.\]

命題：$g$ を曲面の Riemann 計量とする。このとき

\[g = (\omega^1)^2 + (\omega^2)^2.\]

証明：$I = \varphi^{\ast}g = \lVert \mathrm d\bm r\rVert^2$ である。

\[\begin{aligned} g &= \lVert \mathrm d\bm r\rVert^2 = \lVert \omega^1\bm e_1 + \omega^1\bm e_2 \rVert^2\\ &= (\omega^1)^2 + (\omega^2)^2. \quad\blacksquare \end{aligned}\]

問題：$\omega_1 \wedge \omega_2$ は面積要素である。

証明：展開すると $\sqrt{EG - F^2}$ が現れることを示す。

まず与えられた微分形式の外積を $\theta^i$ で表す。

\[\tag*{$\spadesuit1$} \begin{aligned} \omega_1 \wedge \omega_2 &= (p^1_1\theta^1 + p^1_2\theta^2) \wedge (p^2_1\theta^1 + p^2_2\theta^2)\\ &= (p^1_1p^2_2 - p^1_2p^2_1)\theta_1 \wedge \theta_2. \end{aligned}\]

次に第一基本形式の $E, F, G$ を行列 $P$ の成分で表現する。

\[\begin{aligned} E &= \bm r_u \cdot \bm r_u = (p^1_1\bm e_1 + p^2_1\bm e_2) \cdot (p^1_1\bm e_1 + p^2_1\bm e_2)\\ &= (p^1_1)^2 + (p^2_1)^2,\\ F &= \bm r_u \cdot \bm r_v = (p^1_1\bm e_1 + p^2_1\bm e_2) \cdot (p^1_2\bm e_1 + p^2_2\bm e_2)\\ &= p^1_1p^1_2 + p^2_1p^2_2,\\ G &= \bm r_v \cdot \bm r_v\\ &= (p^1_2)^2 + (p^2_2)^2. \end{aligned}\]

ゆえに

\[\tag*{$\spadesuit2$} \begin{aligned} EG - F^2 &= ((p^1_1)^2 + (p^2_1)^2)((p^1_2)^2 + (p^2_2)^2) - (p^1_1p^1_2 + p^2_1p^2_2)^2\\ &= (p^1_1p^2_2 - p^1_2p^2_1)^2 \end{aligned}\]

$\spadesuit1$, $\spadesuit2$ から

\[\omega^1 \wedge \omega^2 = \sqrt{EG - F^2}\,\theta^1 \wedge \theta^2.\]

これは左辺が面積要素であることを示している。 $\blacksquare$

正規直交標構場の微分を調べ、Gauss の公式と Weingarten の公式を導く。

$\langle \bm e_1, \bm e_2, \bm e_3 \rangle$ を $E^3$ の基底とみなすこともできる。 したがって、それぞれの全微分は $\langle \bm e_1, \bm e_2, \bm e_3 \rangle$ の一次結合として表される。

\[\tag*{(3.4.6)} \mathrm d \bm e_j = \sum_{i = 1}^3\omega^i_j\bm e_i,\] \[\def\arraystretch{1.25ex} \mathrm d\!\begin{pmatrix}\bm e_1 \\ \bm e_2 \\ \bm e_3\end{pmatrix}\! = \!\begin{pmatrix} \omega_1^1 & \omega_1^2 & \omega_1^3\\ \omega_2^1 & \omega_2^2 & \omega_2^3\\ \omega_3^1 & \omega_3^2 & \omega_3^3\\ \end{pmatrix}\! \!\begin{pmatrix}\bm e_1 \\ \bm e_2 \\ \bm e_3\end{pmatrix}\!.\]

上のように $\omega^i_j \in \Omega^1(M)$ をおく。 それぞれ $\omega_1, \omega_2$ の一次結合で表されることに注意する。

$\bm e_i \cdot \bm e_j = \delta_{ij}$ から

\[\tag*{(3.4.7)} \mathrm d\bm e_i \cdot \bm e_j + \bm e_i \cdot \mathrm d\bm e_j = 0.\]

この等式にさきほどの外微分の等式を代入すると次を得る：

\[\def\arraystretch{1.25ex} \mathrm d\!\begin{pmatrix}\bm e_1 \\ \bm e_2 \\ \bm e_3\end{pmatrix}\! = \!\begin{pmatrix} 0 & \omega_1^2 & \omega_1^3\\ -\omega_1^2 & 0 & \omega_2^3\\ -\omega_1^3 & -\omega_2^3 & 0\\ \end{pmatrix}\! \!\begin{pmatrix}\bm e_1 \\ \bm e_2 \\ \bm e_3\end{pmatrix}\!.\]

$\bm e_1, \bm e_2$ に関する等式が Gauss の公式、$\bm e_3$ に関する等式が Weingarten の公式とそれぞれ呼ばれている。

問：$S^2$ の $\omega^i_j$ を計算しろ。

解：$\bm e_1, \bm e_2$ をさっきのようにおく。

\[\begin{aligned} \bm e_3 &= \bm e_1 \times \bm e_2 = \!\begin{pmatrix}\cos{u} \cos{\left(v \right)}\\\sin{u} \cos{\left(v \right)}\\\sin{\left(v \right)}\end{pmatrix}\!\\ &= \frac{\bm r}{a}. \end{aligned}\]

ゆえに

\[\begin{aligned} \mathrm d\bm e_2 &= \frac{\partial \bm e_2}{\partial u}\,\mathrm du + \frac{\partial \bm e_2}{\partial v}\,\mathrm dv\\ &= \!\begin{pmatrix}\sin{u} \sin{\left(v \right)}\\- \sin{\left(v \right)} \cos{u}\\0\end{pmatrix}\!\mathrm du + \!\begin{pmatrix}- \cos{u} \cos{\left(v \right)}\\- \sin{u} \cos{\left(v \right)}\\- \sin{\left(v \right)}\end{pmatrix}\!\mathrm dv\!\\ &= -\frac{\tan v}{a}\omega^1\bm e_1 + \frac{1}{a}\omega^2\bm e_3.\\ \mathrm d\bm e_3 &= \frac{1}{a}\mathrm d\bm r = \frac{1}{a}\omega^1\bm e_1 + \frac{1}{a}\omega^2\bm e_2. \end{aligned}\]

したがって

\[\omega^1_2 = -\frac{\tan v}{a},\; \omega^1_3 = \frac{1}{a}\omega^1,\; \omega^2_3 = \frac{1}{a}\omega^2. \quad\blacksquare\]

Gauss の方程式と Codazzi の方程式を説明する。

最初に $(3.4.3)$ を微分方程式とみなして積分可能条件を求める。 $\mathrm d\circ\mathrm d = 0$ から位置ベクトル $\bm r$ に適用して次が必要とわかる：

\[\tag*{(3.4.9)} \begin{aligned} \mathrm d\omega^1 + \omega^1_2 \wedge \omega^2 &= 0,\\ \mathrm d\omega^2 + \omega^2_1 \wedge \omega^1 &= 0,\\ \omega^3_1 \wedge \omega_1 + \omega^3_2 \wedge \omega_2 &= 0. \end{aligned}\]

$\omega^3_i$ は $\omega^1, \omega^2$ の一次結合であるので、

\[\tag*{(3.4.11)} \omega^3_i \coloneqq \sum_{j = 1, 2} h_{ij}\omega^j\]

とおけば $h_{ij} = h_{ij}.$

次に $(3.4.6)$ を微分方程式とみなして積分可能条件を求める。 各 $\bm e_j$ に $\mathrm d\circ\mathrm d = 0$ を適用して次を得る：

\[\tag*{(3.4.13)} \mathrm d\omega^i_j - \sum_{k = 1}^3 \omega^k_j \wedge \omega^i_k = 0.\]

$i = 1, j = 2$ を代入すると $\mathrm d\omega^1_2 - \omega^3_2 \wedge \omega^1_3 = 0.$ したがって $(3.4.7), (3.4.11)$ から次の Gauss の方程式を得る：

\[\tag*{(Gauss)} \mathrm d\omega^1_2 = (h_{11}h_{22} - h_{12}h_{21})\omega^1 \wedge \omega^2.\]

$i = 3, j = 1, 2$ を代入すると次の Codazzi の方程式を得る：

\[\tag*{(Codazzi)} \begin{cases} \mathrm d\omega^3_1 = \omega^2_1 \wedge \omega^3_2,\\ \mathrm d\omega^3_2 = \omega^1_2 \wedge \omega^2_1. \end{cases}\]

最後に

\[\begin{aligned} \beta &= -\mathrm d\bm r \cdot \mathrm d\bm e_3\\ &= -(\omega^1\bm e_1 + \omega^2\bm e_2) \cdot (-\omega^3_1\bm e_1 - \omega^3_2\bm e_2)\\ &= (\omega^1\bm e_1 + \omega^2\bm e_2) \cdot (\omega^1_3\bm e_1 + \omega^2_3\bm e_2)\\ &= \omega^1\omega^3_1 + \omega^2\omega^3_2\\ &= \omega^1\sum_{j=1}^2h_{1j}\omega^j + \omega^2\sum_{j=1}^2h_{2j}\omega^j\\ &= \sum_{i,j=1}^2h_{ij}\omega^i\omega^j. \end{aligned}\]

以上で二つの曲面が合同である条件を記述することができたことになる。

定理（曲面論の基本定理）：$E^3$ 内の曲面は、各点の近傍における任意の正規直交標構場に関して

\[\tag*{(Fundamentals)} \begin{aligned} \mathrm d\bm r &= \omega^1\bm e_1 + \omega^1\bm e_2,\\ %% \tag*{(3.4.3)} \mathrm d\bm e_j &= \sum_{i = 1}^3\omega^i_j\bm e_i,\\ %% \tag*{(3.4.6)} \mathrm d\bm e_i \cdot \bm e_j + \bm e_i \cdot \mathrm d\bm e_j &= 0,\\ %% \tag*{(3.4.7)} \mathrm d\omega^1 + \omega^1_2 \wedge \omega^2 &= 0,\\ \mathrm d\omega^2 + \omega^2_1 \wedge \omega^1 &= 0,\\ %% \tag*{(3.4.9)} \omega^3_1 \wedge \omega_1 + \omega^3_2 \wedge \omega_2 &= 0,\\ %% \tag*{(3.4.10)} \mathrm d\omega^1_2 &= (h_{11}h_{22} - h_{12}h_{21})\omega^1 \wedge \omega^2,\\ %% (Gauss) \begin{cases} \mathrm d\omega^3_1 = \omega^2_1 \wedge \omega^3_2,\\ \mathrm d\omega^3_2 = \omega^1_2 \wedge \omega^2_1. %% (Codazzi) \end{cases} \end{aligned}\]

をみたす。

逆に、$\R^2$ の領域 $D$ 上に $1$-form $\omega^1, \omega^2$ と関数 $h_{ij}$ が与えられていて $\text{(Fundamentals)}$ をみたすとき、

  • $(\omega^1)^2 + (\omega^2)^2$ を第一基本形式、
  • $\sum h_{ij}\omega^i\omega^j$ を第二基本形式

とする曲面片 $\varphi\colon D \longrightarrow M$ が等長変換を除き一意的に存在する。

証明：逆の証明がない。

命題：主曲率は $h_{ij}$ で表される：

\[\begin{aligned} K &= \det(h_{ij}),\\ H &= \frac{1}{2}\operatorname{trace}(h_{ij}). \end{aligned}\]

証明：TODO: 線形代数

球面 $S^2$ については先の結果と $(3.4.11)$ により

\[\!\begin{pmatrix} h_{ij} \end{pmatrix}\! = \!\begin{pmatrix} \dfrac{1}{a} & 0\\[2.0ex] 0 & \dfrac{1}{a} \end{pmatrix}\!.\]

問：前節の曲面 $(v\cos u, v\sin u, au)$ を正規直交標構で表わせ。

解：

\[\mathrm d\bm r = \bm r_u\,\mathrm du + \bm r_v\,\mathrm dv = \!\begin{pmatrix}- v \sin{u}\\v \cos{u}\\a\end{pmatrix}\!\mathrm du + \!\begin{pmatrix}\cos{u}\\\sin{u}\\0\end{pmatrix}\!\mathrm dv.\]

であるから $\bm r_1, \bm r_2$ を単位化して次のように $\bm e_1, \bm e_2$ をとる：

\[\bm e_1 \coloneqq \frac{1}{\sqrt{v^2 + a^2}} \!\begin{pmatrix}- v \sin{u}\\v \cos{u}\\a\end{pmatrix}\!,\; \bm e_2 \coloneqq \bm r_v.\]

したがって $\bm e_3$ は：

\[\bm e_3 \coloneqq \bm e_1 \times \bm e_2 = \frac{1}{\sqrt{v^2 + a^2}} \!\begin{pmatrix} -a\sin{u} \\a\cos{u} \\-v\end{pmatrix}\!.\]

$(3.4.3)$ から $\omega^1, \omega^2$ は次のようになる：

\[\omega^1 = \sqrt{v^2 + a^2}\,\mathrm du,\; \omega^2 = \mathrm dv.\] \[\begin{aligned} \mathrm d\omega^1 &= (0\,\mathrm du + \frac{2v}{\sqrt{v^2 + a^2}}\,\mathrm dv)\wedge\mathrm du\\ &= -\frac{v}{v^2 + a^2}\omega^1 \wedge \omega^2,\\ \mathrm d\omega^2 &= 0. \end{aligned}\]

したがって $(3.4.9)$ から：

\[\omega^1_2 = \frac{v}{v^2 + a^2}\omega^1.\]

一方

\[\def\D{ v^2 + a^2 } \begin{aligned} \mathrm d\bm e_1 &= \frac{1}{\sqrt{\D} }\!\begin{pmatrix}-v \cos{u}\\-v \sin{u}\\0\end{pmatrix}\!\mathrm du + \frac{a}{(\D)^{3/2}}\!\begin{pmatrix}-a\sin u\\a\cos u\\-av\end{pmatrix}\!\mathrm dv\\ &= -\frac{v}{\D}\omega^1\bm e_2 + \frac{a}{\D}\omega^2\bm e_3,\\ %% \mathrm d\bm e_2 &= \!\begin{pmatrix}-\sin u\\\cos u\\0\end{pmatrix}\!\mathrm du + \!\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\!\mathrm dv\\ &= \frac{v}{\D}\omega^1\bm e_1 + \frac{a}{\D}\omega^1\bm e_3. \end{aligned}\]

であるから

\[\def\D{ v^2 + a^2 } \omega^3_1 = \frac{a}{\D}\omega^2,\; \omega^3_2 = \frac{a}{\D}\omega^1.\]

したがって $(3.4.11)$ から次を得る：

\[\def\h{ \dfrac{a}{v^2 + a^2} } \!\begin{pmatrix} h_{ij} \end{pmatrix}\! = \def\arraystretch{2.0ex} \begin{pmatrix} 0 & \h\\ \h & 0 \end{pmatrix}\!. \quad\blacksquare\]

したがって式 $\text{(Gauss)}$ を次のように書ける：

\[\tag*{(Gauss)$^{\prime}$} \mathrm d\omega^1_2 = K\omega^1 \wedge \omega^2.\]

定理（驚愕の定理）：Gauss 曲率

\[K = \kappa_1\kappa_2 = \frac{LN - M^2}{EG - F^2} = \det(h_{ij})\]

は第一基本形式だけで決まる。$L, M, N$ は不要。

証明：$\text{(Gauss)}^{\prime}$ から示される。

$\omega^1, \omega^2$ は $\bm e_1, \bm e_2$ の双対であり、後者の正規直交性は第二基本形式には依存しない。 したがって $\omega^1, \omega^2$ もそうではない。 さらに $\omega^1_2$ は $(3.4.9)$ で定まるので、これも第二基本形式には依存しない。

したがって $K$ は第二基本形式に依存しないことが示された。 $\blacksquare$

  • 曲面人にとっても実は Gauss 曲率が理解できると言っている。
  • それ以外の曲率（主曲率、平均曲率）は曲面人には理解できない。

定義： $M$ を向き付け可能な曲面とする。次の写像を Gauss 写像という：

\[\begin{array}{c} \nu \colon& M &\longrightarrow& S^2\\ & p &\longmapsto &\bm e_3(p) \end{array}\]

$\nu(M) \subset S^2$ であることから、 $M$ における $\mathrm d\bm r$ の役割を曲面部分 $\nu(M)$ における $\mathrm d\bm e_3$ が演じる。

$\nu(M)$ の面積要素は $\omega^1_3 \wedge \omega^2_3$ であり、これは

\[\begin{aligned} \omega^1_3 \wedge \omega^2_3 &= \omega^3_1 \wedge \omega^3_2\\ &= (h_{11}\omega^1 + h_{12}\omega^2) \wedge (h_{21}\omega^1 + h_{22}\omega^2)\\ &= (h_{11}h_{22} - h_{12}h_{21})\omega^1 \wedge \omega^2\\ &= K\omega^1 \wedge \omega^2. \end{aligned}\]

したがって点 $p \in M$ の近傍を $U_p$ で表すと次が成り立つ：

\[\def\area#1{ \operatorname{area}({#1}) } K = \lim_{U_p \to p}\frac{\area{\nu(U_p)}}{\area{U_p}}.\]

これは Gauss 曲率の本来の定義である。

問：前節で扱った次の各曲面の Gauss 写像の像を求めろ。

  • 楕円面
  • 一葉双曲面
  • 二葉双曲面
  • 楕円放物面
  • 双曲放物面
  • 円環面

解：プロットを眺めながら脳内で法線ベクトルが動くのを想像するといい。

楕円面は球面と同じである。曲面と $S^2$ と一対一対応する。

一葉双曲面からは鉛直方向の法線ベクトル二本が得られない。それ以外は $S^2$ と一対一対応する。

二葉双曲面からは水平方向の法線ベクトル（不加算無限個）が得られない。それ以外は $S^2$ と一対一対応する。

楕円放物面からは鉛直方向の法線ベクトル一本が得られない。 また、$S^2$ の半分部分に対応する法線ベクトルが得られない。 それ以外は $S^2$ と一対一対応する。

双曲放物面からは水平方向の法線ベクトルが得られない。 また、$S^2$ の半分部分に対応する法線ベクトルが得られない。 それ以外は $S^2$ と一対一対応する。

円環面は多対一対応になる。

  • 鉛直方向のベクトル二本（ドーナツの上下の円周上）は $S^2$ 上の不加算無限個の点に対応する。
  • それ以外は $S^2$ 上の一点に円環面上の二点が対応する。

以上