この前の攻略メモを確かめながら水晶玉ボス戦を試すが、一体だけなぜかダメ。おかしい。 0:30 疲れて寝る。

早朝、またぞろ体がだるい。単純に肉体的に疲労が溜まっている。 しばらく横になって 8:45 に起床できる。スッキリを観ながら朝飯。納豆とレーズンロール。 書類整理と PC を開けて応募状況更新などをする。ここまでやって 9:30 だ。 そうそう、きのうの数学ノートの後半も片付けていなかった。

10:35 ノート終了。薩摩本は無駄な記述がほとんどない。読み落とし厳禁。

外出まで地獄の伯爵令嬢の実験的プレイの続きをやる。ボスをどれだけ倒さずにエンディングまで行けるか。 水晶玉三つ以外は全部放置してラスボスまで行ったらプレイ時間 3:05 レベル 46-49-49 で倒せた。

昼過ぎから外出。13:50 ビッグエー墨田業平店。133 円。

  • ツイストドーナツ (3)
  • ふっくらおむすび明太マヨ

蒸し暑い柳島児童遊園でおやつ休憩ののち、横川コミュニティー会館図書室に移動。 朝刊と教科書を読む。きのうの日記の数式が少し違っているかもしれない。 修正するのは今晩以降になりそうだ。15:00 退館。

蒸し暑い中ハローワーク墨田に移動。検索機で求人を探す。 求人票に書いてある未知の用語を Google で検索する手間が少しかかるのが気になる。

タイトー F ステーションオリナス錦糸町店。6 クレ使う。 ビートマニアのライトニング筐体はまだ不安定なのか、ふとしたはずみで NO SIGNAL になるのか。 1 クレ損した。

MJ プロ卓東風戦。きょうはふつう。

【SCORE】
合計SCORE:+29.7

【最終段位】
四人打ち段位:雷神 幻球:5

【7/28の最新8試合の履歴】
1st|----**--
2nd|---*----
3rd|--*----*
4th|------*-
old         new

【順位】
1位回数:2(33.33%)
2位回数:1(16.67%)
3位回数:2(33.33%)
4位回数:1(16.67%)
平均順位:2.33

プレイ局数:30局

【打ち筋】
アガリ率:23.33%(7/30)
平均アガリ翻:2.43翻
平均アガリ巡目:11.29巡
振込み率:10.00%(3/30)

【7/28の最高役】
最高役のデータがありません。最高役は、跳満以上のアガリが対象となります。

18:30 カスミオリナス錦糸町店。336 円。鶏カシューナッツ炒め＆麻婆茄子丼。

18:55 ビッグエー墨田業平店。149 円。

  • シュークリーム
  • レーズンロール (4)

19:10 向島の部屋に戻る。晩飯にする。PC で帳簿をつけたらとっとと電話ボックスに移動したい。

19:45 電話ボックス兼サウナに移動。今日から一週間くらいメールの確認は欠かせない。 昨日の今日はさすがに着信なし。体力の消耗が著しいし雨も強くなってきたので帰る。

風呂に入って 20:40 になる。数学をやるか。やはり昨日の数式が間違っている。 というか式の展開が少々雑だった。修正する。それから本日分の復習だ。

21:50 復習終わり。書類を片付けよう。

23:35 ある日夢の中で II を続ける。レベル 39 に到達。 つづいて地獄の伯爵令嬢のボス戦のデータで遊ぶ。ランちゃん戦を練習しまくる。

Math Notes

標本抽出に中心極限定理を適用する。つまり独立な確率変数 $X_i$ の標本サイズ $n$ が十分大きいときに、標本平均 $\bar{X}$ は正規分布 $N(\mu, \sigma^2/n)$ に従うとする。 これは $n$ が数十というサイズでも良い近似を与える。

$Z = \dfrac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}$ は標準正規分布 $N(0, 1)$ に従う。

母平均、母分散が既知のとき、標本平均はどうなるか。 標本が十分大きい場合には、母集団が正規分布に従うという仮定は必要なくなる。

母分散が不明である場合には $\bar{X}$ は正規分布

\[\begin{aligned} N\!\left(\mu, \frac{S^2}{n - 1}\right) \end{aligned}\]

に従う。このとき

\[\begin{aligned} Z = \cfrac{\bar{X} - \mu}{\cfrac{S}{\sqrt{n - 1}}} \end{aligned}\]

は標準正規分布 $N(0, 1)$ に従う。

そして母集団が正規母集団であるときは、$\bar{X}$ の分布を近似なしで求められる。

正規分布の一次結合。

確率変数 $X_1, X_2$ が互いに独立であり $N(\mu_1, \sigma_1^2), N(\mu_2, \sigma_2^2)$ にそれぞれ従うとする。 このとき確率変数 $X_1 + X_2$ は $N(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2)$ に従う。 このことは畳み込み積分を計算すると示されるが、紙幅の都合で断念（やりたい）。

確率変数 $X_i:(i = 1, \dotsc, n)$ が互いに独立であり、$N(\mu_i, \sigma_i^2)$ にそれぞれ従うとする。 さらに定数 $a_0, a_1, \dotsc, a_n$ を導入し、確率変数

\[\begin{aligned} Y \coloneqq a_0 + a_1X_1 + \dotsb + a_nX_n \end{aligned}\]

をとる。この確率変数は正規分布

\[\begin{aligned} N(a_0 + a_1\mu_1 + \dotsb + a_n\mu_n, a_1^2 \sigma_1^2 + \dotsb + a_n^2\sigma_n^2) \end{aligned}\]

に従う。特に $a_0 = 0, a_1 = \dotsb = a_n = \dfrac{1}{n},$ $X_i$ すべてが $N(\mu, \sigma^2)$ に従うときは $Y = \bar{X}$ は

\[\begin{aligned} N\!\left(\sum\frac{1}{n}\mu, \sum\frac{\sigma^2}{n^2}\right) = N\!\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right) \end{aligned}\]

に従う。

母集団が $N(\mu, \sigma^2)$ に従うとき、大きさ $n$ の標本から標本平均 $\bar{X}$ をつくると、$n$ が大きくなくとも $\bar{X}$ は $N(\mu, \sigma^2/n)$ に従う。

例題：一週間前の日記 の試験において得点が正規分布に従うことがわかっているときに、 $5$ 人を無作為に抽出すれば、その標本平均が $580$ 以下である確率はいくらか。

解：$\bar{X}$ は $N(600, 100^2/5) = N(600, (20\sqrt{5})^2)$ に従い、 $Z \coloneqq \dfrac{\bar{X} - 600}{20\sqrt{5}}$ は $N(0, 1)$ に従う。

\[\begin{aligned} P(\bar{X}\!\le\!580) &= P\!\left(Z\!\le\!\frac{580 - 600}{20\sqrt{5}}\right)\\ &= P(Z\!\le\!0.44721...). \end{aligned}\] 
>>> from statistics import NormalDist
>>> NormalDist().cdf(0.44721)
0.6726382790936332

例題：ある工場では製品の品質特性が $N(\mu, \sigma^2)$ に従う。 安定生産時に一定時間毎に大きさ $n$ の標本を無作為に抽出するときに、 標本平均 $\bar{X}$ が

\[\begin{aligned} \mu - \frac{3\sigma}{\sqrt{n}} \lt \bar{X} \lt \mu + \frac{3\sigma}{\sqrt{n}} \end{aligned}\]

の外にはみ出す確率はいくらか。

解：$Z = (\bar{X} - \mu)/(\sigma/\sqrt{n})$ が $N(0, 1)$ に従う。

\[\begin{aligned} \bar{X} = \mu \pm \frac{3\sigma}{\sqrt{n}} \implies Z = \pm 3.\\ \therefore P\!\left(\lvert \bar{X} - \mu \rvert \lt \frac{3\sigma}{\sqrt{n}}\right) = P(\lvert Z \rvert \lt 3). \end{aligned}\] 
>>> 1 - (NormalDist().cdf(3) - 0.5) * 2
0.002699796063260207

問題：ある工場の作っている電球の寿命の平均は $2000$ であるという。 以下のそれぞれのについて、標本の平均寿命が $2050$ を超える確率を求めろ：

  • 母標準偏差 $\sigma = 300$ かつ標本サイズ $n = 100$
  • 母標準偏差不明かつ標本サイズ $n = 100$ かつ標本標準偏差 $S = 400$
  • 寿命が $N(2000, 300^2)$ に従うとき、$n = 10$ 個無作為に抽出した標本

解：最初の場合は単純に計算する：

\[\begin{aligned} P(X \ge 2050) = P\!\left(\frac{2050 - 2000}{300/\sqrt{100}} \ge 2050\right)\!. \end{aligned}\] 
>>> from math import sqrt
>>> Z = sqrt(100) * (2050 - 2000) / 300; Z
1.6666666666666667
>>> NormalDist().cdf(Z)
0.9522096477271853
>>> 1 - _
0.047790352272814696

二番目の場合は $n - 1$ の式を使う。次の $Z$ が $N(0, 1)$ に従う：

\[\begin{aligned} Z = \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n - 1}} = \frac{\bar{X} - 2000}{400/\sqrt{99}} \end{aligned}\] 
>>> mu, n, S = 2000, 100, 400
>>> Z = (2050 - mu)/(S / sqrt(n - 1)); Z
1.243734296383275
>>> 1 - NormalDist().cdf(Z)
0.10679868453528107

最後の場合には $\bar{X}$ は $N(2000, (300/\sqrt{10})^2)$ に従う。 $Z = (\bar{X} - 2000)/(300/\sqrt{10})^2$ が $N(0, 1)$ に従う。

>>> mu, sigma, n = 2000, (300/sqrt(10)), 10
>>> Z = (2050 - mu)/sigma; Z
0.5270462766947299
>>> 1 - NormalDist().cdf(Z)
0.2990807263417641

問題：3 シグマの管理限界を採用している工場がある。正常稼働時では製品は平均 $2000$ 標準偏差 $52$ の正規分布に従っている。

ある日、$4$ 品を無作為に抽出して平均をとると $1920$ であった。 その日の工場は正常稼働していると言えるか。

解：$Z$ が $\pm 3$ に収まっているか否かを確認すればいい。

\[\begin{aligned} Z = \frac{\sqrt{n}}{\sigma}(\bar{X} - \mu) &= \frac{2}{52}(1920 - 2000)\\ &= -3.076923...\\ &\lt -3. \end{aligned}\]

したがって異常稼働である。 $\blacksquare$

以上