川口周著『代数学入門』より。第 3 章後半：軌道個数計算、自己同型群。

  • (Cauchy-Frobenius) 軌道分解の軌道総数を勘定する例の分析をする。

    1. 群作用 $(G, X)$ を決める

      $X$ は自然数の部分集合の直積になることが多い。

    2. 各 $g \in G$ に対して、集合 $\lbrace x \in X\,\mid\,g \cdot x = x\rbrace$ のサイズを勘定する。
    3. それらの算術平均を取る。分母は $G$ の位数とする。

    Burnside の補題ノート

  • 共役類をとる操作を作用とすると、固定部分群は中心化群と呼ばれるものに相当する。
  • 中心化群の任意バージョンが群の中心だ。
    • $Z(G) \triangleleft G$ など。
    • $G/Z(G)$ が巡回群ならば $G$ はアーベル群。
  • 類等式の公式の第二項 $\sum [G : C_G(x_i)]$ において、サイズが 1 でない共役類を採用する。
  • 巡回部分型
  • (Cauchy) 位数が素数 $p$ で割り切れる群には、位数が $p$ である部分群がある。
  • 本書では Sylow の定理はコラムネタ扱い。といいつつ、次の節で位数が 10 以下の群の分類をしている。