川口周著『代数学入門』より。

  • 中国剰余定理。『孫子算経』の問題では $\varphi(x + 105 \Z) = (x + 3 \Z, x + 5 \Z, x + 7 \Z)$ とおくと例えば $\varphi(70 + 105\Z) = (1 + 3\Z, 0 + 5\Z, 0 + 7\Z)$ だと言っている。
  • Euclid 整域、単項イデアル整域 (PID)、一意分解整域 (UID) はこの順で is-a 関係がある。
    • 既約元、素元の定義に注意。同じではない。
  • 問題 5.11 では $\mathbb F_2[X]$ では $(X^2 + 1) = ((X + 1)^2)$ であることに注意する。
  • $K[X]$ の素イデアルは $(0), (f(X))$ であり、極大イデアルは $(f(X))$ しかない。ここで $f(X)$ は既約元とする。
  • 極大イデアル is-a 素イデアル
  • 単項イデアル整域においては、素イデアルは極大イデアルである。
  • ネーター環
    • 〈昇鎖条件 $\leftrightarrow$ 有限生成性〉はなんとか理解できる。
    • 単項イデアル整域はネーター環である。
    • ネーター環の剰余環はネーター環である。
    • （ヒルベルトの基底定理）ネーター環上の多項式環はネーター環である。最高次数定理と有限生成性で証明する。
    • 体上の多項式環はネーター環である。