雪江明彦著『環と体とガロア理論』第 3 章ノート。

第 3 章 体論の基本

3.4 正規拡大

この教科書の正規拡大の定義は「$K$ 上の最小多項式が $L$ 上では一次式の積に既約元分解できる」流儀。

  • 関連して「多項式がその上では一次式の積に既約元分解できる」体をその多項式の分解体という。
  • $L/K$ が正規拡大であることは $L$ の勝手な元の $K$ 上の共役がすべて $L$ にあることを意味する。

目標：ある代数的拡大が正規拡大であるかを判定したい。

定理（正規拡大の条件）：$L/K$ を有限次拡大、$\overline{K} \supset L$ を $K$ の代数閉包とする。

$L/K$ は正規拡大 $\iff$ $\forall \varphi \in \operatorname{Hom}_K(L, \overline{K})(\varphi(L) \subset L).$

証明：$\implies:$ $\alpha \in L$ を任意にとる。 $\varphi \in \operatorname{Hom}_K(L, \overline{K})$ を任意にとると、 準同型と共役の関係から $\varphi(\alpha)$ は $\alpha$ の $K$ 上の共役である。 $L/K$ の正規拡大性から $\varphi(\alpha) \in L.$ $\alpha \in L$ は任意だから $\varphi(L) \subset L.$ $\Box$

$\impliedby:$ $\alpha \in L$ を任意にとる。$\alpha$ の $K$ 上の共役であるような $\beta \in \overline{K}$ がある。 準同型と共役の関係からある $K$ 準同型写像 $\varphi\colon L \longrightarrow \overline{K}$ が存在して $\varphi(\alpha) = \beta.$ $\varphi(L) \subset L$ から $\beta \in L$ が成り立つ。

任意の $\alpha \in L$ に対して、その $K$ 上の共役がすべて $L$ にあることが示されたので、 $L/K$ が正規拡大であることが示された。 $\blacksquare$

定理（正規拡大の条件・系）： 代数拡大 $L \coloneqq K(\alpha_1, \dotsc, \alpha_n)$ が $\alpha_i$ の $K$ 上の共役をすべて含むならば $L/K$ は正規拡大である。

証明： 任意の $K$ 準同型写像 $\varphi\colon L \longrightarrow \overline{K}$ について $\varphi(L) \subset L$ が成り立つことを示す。

正規拡大性から $\varphi(\alpha_1) \in L, \dotsc \varphi(\alpha_n) \in L.$ したがって $\varphi(K(S)) = K(\varphi(S))$ の定理により $\varphi(L) = \varphi(K(\alpha_1, \dotsc, \alpha_n)) = K(\varphi(\alpha_1), \dotsc, \varphi(\alpha_n)) \subset L.$

したがって $L/K$ は正規拡大であることが示された。 $\blacksquare$

定理（自己準同型は自己同型）： $L/K$ は正規拡大かつ $\varphi \in \operatorname{Hom}_K(L, L)$ $\implies$ $\varphi$ は同型写像

証明：$\varphi$ が $L$ 上の全単射写像であることを示す。

$K \subset F \subset L$ を $K$ の有限次正規拡大とする。 正規拡大の条件から $\varphi(F) \subset F.$

$\varphi$ は体の準同型であることから単射である。したがって $\dim_K F = \dim_K \varphi(F).$ すなわち $F = \varphi(F).$

$\alpha \in L$ を一つとる。$F$ を $K$ に $\alpha$ の共役全てを添加して得られる体とおく。 これは $K$ の有限次正規拡大になっている。したがって $\varphi(F) = F.$ このとき $\varphi(\beta) = \alpha$ なる $\beta \in F$ が存在する。 したがって $\varphi$ は全射である。

以上より $\varphi$ は全単射であることが示されたので、$L$ 上の $K$ 同型写像であることが示された。 $\blacksquare$

例（正規拡大）：$d$ を平方因子を含まない整数とする。$\mathbb Q(\sqrt{d})/\mathbb Q$ は正規拡大。 共役をすべて含むことによる：$\pm\sqrt{d} \in \mathbb Q(\sqrt{d}).$ きのうのノートを参照。

例（代数閉包は正規拡大）：TODO

例（分離閉包は正規拡大）： $K$ 上分離的な元の共役も $K$ 上分離的なので、$K^s/K$ は正規拡大である。

例（正規拡大でない）： $\mathbb Q(\sqrt[3]{2})/\mathbb Q$ は正規拡大でない。 きのうのノートを参照。

定義：$f(X) \in K[X]$ が $f(X) = a_0(X - \alpha_0)\dotsb(X - \alpha_n)$ の形に書けるとする。 ただし $a_0 \in K^\times, \alpha_i \in \overline{K}.$ このとき $K(\alpha_1, \dotsc, \alpha_n)$ を $f$ の $K$ 上の最小分解体という。

定理（最小分解体の一意性）：$f$ の最小分解体は $K$ 上の同型を除いて一意的に定まる。

証明：$f(X) = g_1(X)\dotsm g_m(X)$ と既約多項式の積に既約元分解する。 $K$ に $g_i(X)$ の根すべてを添加して得られる体が $L$ である。これは正規拡大になっている。

今 $F \supset K$ を別の代数閉包とする。Steinitz の定理により $K$ 同型 $\varphi\colon\overline{K} \longrightarrow F$ が存在する。

$f(X)$ が上述定義文のように書けるならば、 $f(X) = a_0(X - \varphi(\alpha_1))\dotsb(X - \varphi(\alpha_n)).$ したがって $F$ により構成した最小分解体 $L^{\prime}$ は

\[L^{\prime} = K(\varphi(\alpha_1), \dotsc, \varphi(\alpha_n))\]

なので、$\varphi$ は $K$ 同型 $\tilde\varphi\colon L \longrightarrow L^{\prime}$ を引き起こす。 これは $f$ の最小分解体が $K$ 上の同型を除いて一意的に定まることを示す。 $\blacksquare$

例（最小分解体）：

  • $f(X) = (X^2 - 2)(X^2 - 3)$ の最小分解体は $\mathbb Q(\sqrt{2}, \sqrt{3}).$
  • $f(X) = X^3 - 2$ の最小分解体は $\mathbb Q(\sqrt[3]{2}, \omega).$
  • $f(X) = X^4 - X^2 + 1$ の最小分解体は $\mathbb Q(\sqrt{1 + \sqrt{-3}}, \sqrt{1 - \sqrt{-3}}).$

3.5 有限体

目標：位数が素数べきの体が同型を除いて一意的に存在する。

定理（有限体の位数は素数べき）：$K$ を有限体とする。$\lvert K \rvert$ は素数べきである。

証明：$p \coloneqq \operatorname{char}K$ が素数となることは以前示した。 有限体 $K$ は $\mathbb F_p$ を部分体として含む。$K$ は $\mathbb F_p$ 上の有限ベクトル空間であるので $n \coloneqq \dim_{\mathbb F_p}K$ は有限である。したがって $\lvert K \rvert = p^n.$ $\blacksquare$

定理（有限体の元の位数）：$K$ が位数 $q = p^n$ の有限体であるとする。 このとき任意の $x \in K$ に対して $x^q = x.$

証明：$K$ の乗法群 $K^\times$ は位数 $q - 1$ の群である。したがって $\forall x \in K^\times (x^{q - 1} = 1_K).$ つまり $x^q = x.$

$x \in K\setminus K^\times$ ならば $x = 0$ だから当然 $x^q = 0 = x.$ $\blacksquare$

以下 $q = p^n$ とする。

定理（$\mathbb F_q$ の性質）：

  • $(1)$ 多項式 $X^q - X$ の $\mathbb F_p$ 上の最小分解体 $\mathbb F_q$ は位数 $q$ の体である。
  • $(2)$ $x \in \overline{\mathbb F_q}$ が $x^q = x$ を満たすならば $x \in \mathbb F_q.$
  • $(3)$ $K$ が位数 $q$ の体であるならば $\mathbb F_p$ 上 $\mathbb F_q$ に同型である。

証明： $(1):$ 代数閉包を $\Omega \coloneqq \overline{\mathbb F_p}$ とおく。 $f(X) \coloneqq X^q - X$ とおく。$f^{\prime}(X) = qX^{q - 1} - 1 = -1 \ne 0$ より $f(X)$ は重根を持たない。したがって $L \coloneqq \lbrace \alpha \in \Omega \,\mid\, f(\alpha) = 0 \rbrace$ は相異なる $q$ 個の元を含む。

以下 $L$ が体であることを示す。

  • $\alpha, \beta \in L$ ならば $L$ の定義から $\alpha^q = \alpha, \beta^q = \beta$ なので Frobenius 準同型写像のための補題により $(\alpha \pm \beta)^q = \alpha^q \pm \beta^q = \alpha \pm \beta.$

    $\therefore \alpha, \beta \in L \implies \alpha \pm \beta \in L.$

  • $(\alpha\beta)^q = \alpha^q\beta^q = \alpha\beta$ なので $\alpha\beta \in L.$
  • $\mathbb F_p \subset L.$ $L$ は $\Omega$ の $\mathbb F_p$ を含む部分環である。
  • $\alpha \in L^\times \implies \alpha^{-1} = \alpha^{q - 2} \in L.$

以上より $L$ は体であることが示された。

$\mathbb F_p \subset \Omega$ が $f(X)$ の最小分解体ならば $L$ を含む。 $L$ 自身体なので $L$ が $f(X)$ の最小分解体である必要がある。 $\Box$

$(2):$ $L \subset \mathbb F_q$ を示せばよいが、これは上で示した。 $\Box$

$(3):$ 有限体の元の位数の定理から $K \subset L.$ 一方 $\lvert K \rvert = \lvert L \rvert = q$ であるから $K = L.$ $\Box$

3.6 無限体上の多項式

$X^2 + X \in \mathbb F_2[X]$ は多項式としては 0 ではないが、関数として 0 という妙なものだ。 こういうことは無限体上の多項式には起こらないことを習う。

定理（代数閉体は無限体）：代数閉体は無限体である。

証明：体を $K = \overline{K}$ とする。$K$ の標数によらず $K$ または $\overline{K}$ が無限体であることを示す。

$p \coloneqq \operatorname{char}K$ とおく。$p = 0$ ならば $K$ は無限体である。

$p \ne 0$ ならば前節の議論により $\mathbb F_p \subset K.$ 閉包をとって $\overline{\mathbb F_p} \subset \overline{K}.$ 任意の $n \gt 0$ に対して $\mathbb F_{p^n} \subset \overline{K}$ が成り立つから $p^n \le \lvert K \rvert.$ $n \gt 0$ は任意だから $K$ は無限体である。 $\blacksquare$

以下では $S$ を $K$ の部分集合かつ無限集合とする。

定理（非零多項式には非零に移される元が存在する）： $f(X) \in K[X]$ は零でない多項式とする。

このとき $f(\alpha) \ne 0$ なる $\alpha \in S$ が存在する。

証明：$f(X) = X^n + a_1X^{n - 1} + \dotsb + a_n$ とおく。 $f(X)$ はある $\alpha_1, \dotsc, \alpha_n \in \overline{K}$ により $f(X) = (X - \alpha_1)\dotsb(X - \alpha_n)$ と既約元分解できると仮定する。

任意の $\alpha \in S\setminus\lbrace \alpha_1, \dotsc, \alpha_n \rbrace \ne \varnothing$ に対し $f(\alpha) \ne 0$ が成り立つ。 $\blacksquare$

定理（非零多項式には非零に移される元が存在する）： $f(X_1, \dotsc, X_n) \in K[X_1, \dotsc, K_n]$ は零でない多項式とする。

このとき $f(\alpha_1, \dotsc, \alpha_n) \ne 0$ なる $\alpha_1, \dotsc, \alpha_n \in S$ が存在する。

証明：数学的帰納法による。

$f(X) \in K[X_1, \dotsc, X_{n - 1}][X_n]$ とみなし $\deg f = r$ とすると

\[f(X) = \sum_{j = 0}^r g_j(X_1, \dotsc, X_{n - 1})X_n^{r-j}\]

と書ける。ただし $g_0 \ne 0.$

$n = 1$ のときはこの定理の主張は前定理と同じである。

帰納法である $\alpha_1, \dotsc, \alpha_{n-1} \in S$ があって $g_0(\alpha_1, \dotsc, \alpha_{n-1}) \ne 0$ をみたすと仮定する。

\[b_i \coloneqq g_i(\alpha_1, \dotsc, \alpha_{n-1})\]

とおくと、$f(\alpha_1, \dotsc, \alpha_{n-1}, X_n) = \sum_{i = 0}^n b_i X^{m - i} \in K[X_n].$ $b_0 \ne 0$ としたからこれは $X_n$ の多項式としては零ではない。 したがって前定理により $f(\alpha_1, \dotsc, \alpha_{n-1}, \alpha_n) \ne 0$ なる $\alpha \in S$ が存在する。

帰納法により主張が成り立つことが示された。 $\blacksquare$