代数方程式がべき根で解ける条件について学ぶノート。

群論の復習

Galois 理論が関係しないものについてトピックだけ記す。 これらのきちんとした復習は別途行う or 行った。

群 $G$ に対して

  • 交換子 $[x, y] \coloneqq xyx^{-1}y^{-1}\;(x, y \in G).$
  • 交換子群 $D(G) \coloneqq \lbrace [x, y] \,\mid\, x, y \in G\rbrace.$
    • $D(G) \triangleleft G.$
    • 剰余群 $G/D(G)$ は Abel 群である。
    • $N \triangleleft G$ に対して $G/N$ が Abel 群 $\iff D(G)\subset N.$
    • $D_1(G) \coloneqq D(G),\;D_i(G) \coloneqq D(D_{i-1}(G)), \dotsc$
    • $G = D_0(G) \supset D_1(G) \supset D_2(G) \dotsb$ において
      • $D_i(G) \triangleright D_{i + 1}(G).$
      • 剰余群 $D_i(G)/D_{i-1}(G)$ は Abel 群である。
  • 可解群とは、上の交換子群列が $D_n(G) = 1_G$ の形で終わるものをいう。
    • $G$ が可解群 $\iff$ 次を満たす $H_i$ が存在する：
      • $G = H_0 \supset H_1 \supset \dotsb \supset H_m = 1_G.$
      • $H_i \triangleright H_{i - 1}.$ $H_i/H_{i-1}$ は Abel 群である。
    • $G$ が可解群 $\implies$ その部分群および剰余群も可解群である。
    • $N \triangleleft G$ に対して $G/N$ が可解群 $\implies$ $G$ は可解群である。
  • 対称群 $\mathfrak S_n$ は $n \le 4$ のときに可解群であり、$n \ge 5$ のときに可解群ではない。

TODO: 上記の証明を Galois 理論ではないどこか別の枠で確認すること。

可解拡大・べき根拡大

以下基礎体 $K$ の標数を $0$ とし、多項式 $f(X) \in K[X]$ の最小分解体を $L_f$ のように表記する。

定義：Galois 拡大 $L/K$ が可解拡大であるとは、 $\operatorname{Gal}(L/K)$ が可解群であることをいう。

定義：$f[X] \in K[X]$ の最小分解体 $L_f$ が $K$ のべき根拡大であるとは、 次を満たす列が存在して $L_f \subset L_r$ が成り立つことをいう：

\[K = L_0 \subset L_1 \subset \dotsb \subset L_r,\\ L_i = L_{i - 1}(\sqrt[n_i]{\alpha_i}),\; \alpha_i \in L_{i - 1},\; n_i \in \N.\]

$f(X) = 0$ がべき根によって解けるとは、$L_f$ が $K$ のべき根拡大であることをいう。

補題（合成体の Galois 群の同型）： $K$ を（標数が $0$ でなくてもいい）体、 $L/K$ を Galois 拡大、 $K^{\prime}/K$ を体の拡大、 $L$ と $K^{\prime}$ の $\overline{K}$ における合成体を $L^{\prime}$ とする。

\[L^{\prime} \coloneqq LK^{\prime} = K^{\prime}L \coloneqq L(K^{\prime}) = K^{\prime}(L).\]

このとき $L^{\prime}/K^{\prime}$ も Galois 拡大であり、

\[\operatorname{Gal}(L^{\prime}/K^{\prime}) \cong \operatorname{Gal}(L/L \cap K^{\prime}).\]

とくに $[L^{\prime} : K^{\prime}]$ は $[L : K]$ を割り切る。

検討：

  • $L/K$ の仮定からある分離多項式 $f(X) \in K[X]$ が存在する。
    • 先述の記法を使いたいが、基礎体が明記されていないので誤解を招くから不採用。
  • $f(X) \in K^{\prime}[X]$ としても同様のことがいえるから結局 $L^{\prime}/K^{\prime}$ も Galois 拡大であるといえる。
  • その関係から $\operatorname{Hom}_K(L, \overline{K}) = \operatorname{Hom}_K(L, \overline{L}) \subset \operatorname{Aut}_K(L).$
  • 以降は Galois の基本定理を用いて不変体の比較をして拡大次数を吟味する。
  • 教科書には拡大体の関係グラフが図示されている。 そこでは $L \cap K^{\prime}$ のノードが $L/K$ と $K^{\prime}/K$ の交点あたりに記されている。

証明： $L/K$ が Galois 拡大であることから、$L$ はある多項式 $f(X) \in K[X]$ についての $K$ 上の最小分解体である。 そして $f(X) \in K^{\prime}[X]$ としても分離多項式であり、 $L^{\prime}$ は $K^{\prime}$ 上の $f(X)$ の最小分解体である。 したがって $L^{\prime}/K^{\prime}$ が Galois 拡大であることが示された。 $\Box$

$L/K$ が Galois 拡大であることから、 $L$ から $\overline{K}$ の中への $K$ 準同型写像は $L$ の $K$ 自己同型写像である。

TODO: ここに教科書のように拡大関係を説明する図式が入るとベスト。 特に $L/L\cap K^{\prime}/K$ の鎖が重要。

  • いちいち断られなくなっているが Galois 拡大は「上」に伝わるので $L/L \cap K^{\prime}$ も Galois 拡大である。
  • $L/L\cap K^{\prime}$ と $L^{\prime}/K^{\prime}$ が「平行」になっている。 これはあとで示す拡大次数が一致することをよく示している。

$G^{\prime} \coloneqq \operatorname{Gal}(L^{\prime}/K^{\prime}),$ $G \coloneqq \operatorname{Gal}(L/L \cap K^{\prime})$ とおく。

$\sigma \in G^{\prime}$ の $L$ への制限写像 $\sigma\mid_L$ は $L$ はもとより $L \cap K^{\prime}$ の元を固定する。 したがって次の写像 $\varphi$ を得る：

\[\begin{aligned} \varphi\colon & G^{\prime} && \longrightarrow && G\\ & \sigma && \longmapsto && \sigma|_L. \end{aligned}\]

$\sigma\mid_L$ が $L$ 上恒等写像ならば $\sigma$ は $K \cap L^{\prime}$ 上で恒等写像になる。 したがって $\varphi$ は単射である。

また $L^{\prime}$ に対する $G^{\prime}$ の不変体は $K^{\prime}$ に等しいから次の三者は同値である：

  • $x \in L$ が $\operatorname{im}{\varphi}$ で不変
  • $x \in L$ が $G^{\prime}$ で不変
  • $x \in L \cap K^{\prime}$

したがって $\operatorname{im}{\varphi}$ の $L$ に対する不変体、 $G$ の $L$ に対する不変体、$L \cap K^{\prime}$ はすべて等しい。

また、$\operatorname{im}{\varphi} \subset G$ より Galois の基本定理から $\operatorname{im}{\varphi} = G.$ したがって $G^{\prime} \cong G.$ $\Box$

\[[L^{\prime} : K^{\prime}] = [L : L \cap K^{\prime}]\]

であるから $[L^{\prime} : K^{\prime}]$ は $[L : K]$ を割り切る。 $\blacksquare$

定理（代数方程式がべき根によって解ける条件）： $f(X) = 0$ がべき根によって解ける $\iff$ $L_f/K$ が可解拡大である。

検討：巡回 Kummer 拡大の性質を応用できる形にもっていく。

証明： $\implies:$ $L_f/K$ をべき根拡大とする：次のような体の列が存在して $L_f \subset L_r$ をみたすものとする：

\[\begin{aligned} K &= L_0 \subset L_1 \subset \dotsb \subset L_r.\\ L_i &= L_{i - 1}(\sqrt[n_i]{\alpha_i}),\; \alpha_i \in L_{i - 1},\; n_i \in \N. \end{aligned}\]

$m \coloneqq n_1n_2\dotsm n_r$ とし、$K^{\prime} \coloneqq K(\zeta_m)$ とする。 さらに次のように合成体をとる：

\[L_1^{\prime} \coloneqq L_1K^{\prime} = K^{\prime}(\sqrt[n_1]{\alpha_1})\]

$\zeta_m \in K^{\prime}$ だから $L_1^{\prime}$ は $X^{n_1} - \alpha_1$ の $K^{\prime}$ 上の最小分解体である。巡回 Kummer 拡大定理から $L_1^{\prime}/K^{\prime}$ は巡回拡大である。

またしても図式を入れたい。$L_2^{\prime}$ 以降の定義が意外なので。

$L_2/K$ は Galois 拡大ではない（とは限らない？）から $\alpha_2$ の $K$ 上の共役全部（有限個）を $\alpha_{21}, \dotsc, \alpha_{2s}$ として次で定義する：

\[L_2^{\prime}\coloneqq L_1^{\prime}(\sqrt[n_2]{\alpha_{21} }, \dotsc, \sqrt[n_2]{\alpha_{2s} }).\]

$L_2^{\prime}$ は $K$ 上の多項式

\[(X - 1)(X - \alpha_{21})(X - \alpha_{22})\dotsb(X - \alpha_{ns}) \in K[X]\]

の最小分解体だから $L_2^{\prime}/K$ は Galois 拡大である。これにともなう体の列

\[\def\gen#1{ \sqrt[n_{#1}]{\alpha_{2#1} } } L_1^{\prime} \subset L_1^{\prime}(\gen 1) \subset L_1^{\prime}(\gen 1, \gen 2) \subset \dotsb \subset L_2^{\prime}\]

の各ステップ（包含関係）は巡回 Kummer 拡大定理より巡回拡大である。 この操作を繰り返せば次を得る：

\[\def\gen#1#2{ \sqrt[n_{#1}]{\alpha_{ {#1} {#2} } } } \begin{aligned} K \subset K^{\prime} &\subset L_1^{\prime} \subset L_1^{\prime}(\gen 2 1) \subset L_1^{\prime}(\gen 2 1, \gen 2 2) \subset \dotsb \subset L_2^{\prime}\\ &\subset L_2^{\prime}(\gen 3 1) \subset L_2^{\prime}(\gen 3 2, \gen 3 3) \subset \dotsb \subset L_3^{\prime}\\ &\subset \dotsb\\ &\subset L_r^{\prime}. \end{aligned}\]

$L_r^{\prime}/K$ が Galois 拡大であり、その間の各ステップは巡回拡大である。$L_f \subset L_r^{\prime}.$

この列に Galois 対応する群の包含関係を次とする：

\[H_0 = \operatorname{Gal}(L_r^{\prime}/K) \supset H_1 \supset \dotsb \supset 1.\]

こちらは基本定理から正規部分群であり、構成から Abel 正規列を得る。 したがって $\operatorname{Gal}(L_r^{\prime}/K)$ は可解群であることが示された。

$L_r/K$ は Galois 拡大であるから、$\operatorname{Gal}(L_f/K)$ は $\operatorname{Gal}(L_r^{\prime}/K)$ の商群であり、したがって $\operatorname{Gal}(L_f/K)$ は可解群である。 $\Box$

$\impliedby:$ 拡大体の次数を $m \coloneqq [L_f : K]$ とおく。 体 $L_0 \coloneqq K(\zeta_m)$ をとる。

このとき「合成体の Galois 群の同型」補題から

  • $L_fL_0/L_0$ は可解拡大である：

    同補題からまず $L_fL_0/L_0$ は Galois 拡大である。 $\operatorname{Gal}(L_fL_0/L_0) \cong \operatorname{Gal}(K/K \cap L_0)$ であり右辺は可解群 $\operatorname{Gal}(L/K)$ の部分群だから可解群。 したがって $L_fL_0/L_0$ が可解拡大であることが示された。

  • $[L_fL_0 : L_0]\mid m.$

$\operatorname{Gal}(L_fL_0/L_0)$ の交換子群列を細分した組成列を考える：

\[\begin{aligned} \operatorname{Gal}(L_fL_0/L_0) &= H_0 \supset H_1 \supset \dots \supset H_r = 1,\\ H_i &\triangleright H_{i + 1},\\ [H_i \colon H_{i + 1}] & \text{ is prime.} \end{aligned}\]

これに Galois 対応する中間体の列を次のようにとる：

\[L_0 \subset L_1 \subset \dotsb \subset L_r = L_fL_0.\]

このとき各 $L_i/L_{i-1}$ は Galois 拡大、$p_i \coloneqq [L_i : L_{i - 1}]$ は素数で $p_i \mid m$ となる。

$L_0 = K(\zeta_m)$ は $1$ の原始 $p_i$ 乗根を含むので $L_{i-1}$ が $1$ の原始 $p_i$ 乗根を含む。 $\operatorname{Gal}(L_i/L_{i-1}) \cong Z_p$ だからこの Galois 群は巡回群である。 巡回 Kummer 拡大定理から $\operatorname{Gal}(L_i/L_{i-1})$ は巡回 Kummer 拡大であり次の関係が成り立つ：

\[\exists \alpha_i \in L_{i-1}(L_i = L_{i-1}(\sqrt[p_i]{\alpha_i})).\]

また $L_0 = K(\zeta_m)$ であるから $L_fL_0$ の部分体 $L_f$ は定義によりべき根拡大である。 したがって $f(X) = 0$ がべき根によって解けることが示された。 $\blacksquare$

結論

$n$ 次方程式がべき根によって解ける $\iff$ $n \le 4.$

証明：対称式は基本対称式の有理式で表せるで示したことから $n$ 次対称群 $\mathfrak S_n$ を考えることになる。

$K \coloneqq k(s_1, \dotsc, s_n)$ に係数をもつ $n$ 次方程式

\[f(X) \coloneqq X^n - s_1X^{n-1} + \dotsb + (-1)^ns_n = 0\]

の Galois 群 $\operatorname{Gal}(L_f/K)$は $\mathfrak S_n$ と同型である。

群論によると $\mathfrak S_n$ は $n \le 4$ であるときしか可解群ではない。 したがって「代数方程式がべき根によって解ける条件」定理から $n$ 次方程式がべき根によって解けることと $n \le 4$ が同値であることが示された。 $\blacksquare$

すなわち、5 次以上の代数方程式には根の公式が存在しないことが示される。

参照

  • 桂利行著『代数学 III 体とガロア理論』
  • 堀田良之著『岩波講座 現代数学の基礎 環と体 2』