雪江明彦著『環と体とガロア理論』第 4 章ノート。

第 4 章 ガロア理論

分離拡大, 正規拡大 の各ノートも随時参照しながら読む。

4.1 ガロア拡大とガロアの基本定理

この教科書は用語をまとめて定義する流儀のようだ。

  • Galois 拡大とは、体の代数拡大であって分離拡大かつ正規拡大であるものをいう。
  • Galois 群とは、Galois 拡大 $L/K$ に対する $K$ 自己同型群 $\operatorname{Aut}_K(L)$ のことをいう。
    • 記号を $\operatorname{Gal}(L/K)$ とする。
  • Abel 拡大とは Galois 拡大であって、その Galois 群が Abel 群であるものをいう。
  • 巡回拡大とは Galois 拡大であって、その Galois 群が巡回群であるものをいう。

「分離」は「重根」で「正規」は「一次式に既約元分解」だった。

Galois 拡大の作り方：体 $K$ とその分離閉包 $K^s$ の間に中間体 $L$ があるとする。 このとき $L$ のすべての元の $K$ 上の共役をすべて $L$ に添加して得られる体を $\widetilde L$ とする。 この $\widetilde L$ は

  • $\widetilde L \subset K^s$
  • $\widetilde L/K$ は正規拡大である

したがって $\widetilde L/K$ は Galois 拡大である。こういうのを Galois 閉包という。

$K^s$ は $\overline{K}$ における $K$ の分離閉包、つまり $\overline{K}$ の元であってその $K$ 上の最小多項式が $\overline{K}$ で重根をもたないものすべてだ。

命題（有限次 Galois 拡大）： $L/K$ を有限次 Galois 拡大とする。このとき

  • $(1)$ $\operatorname{Gal}(L/K) = \operatorname{Hom}_K(L, \overline{K}) = \operatorname{Hom}_K(L, L).$
  • $(2)$ $\lvert \operatorname{Gal}(L/K)\rvert = [L : K].$

証明： $(1):$ Galois 拡大は正規拡大であり、有限次拡大であることから

\[\operatorname{Hom}_K(L, \overline{K}) = \operatorname{Hom}_K(L, L). \quad\Box\]

$(2)$ また、正規拡大であり代数拡大であることから $\operatorname{Hom}_K(L, L)$ の元はすべて $K$ 自己同型写像である。したがって

\[\operatorname{Gal}(L/K) \coloneqq \operatorname{Aut}_K(L) = \operatorname{Hom}_K(L, L). \quad \blacksquare\]

Galois 拡大の例をいくつか。ある代数拡大をとり、それが過去の考察からすぐにそれとわかるものが多い。 そしてそれらの Galois 群も決定していく。

例：$\mathbb Q(\sqrt{d})$ は Galois 拡大である。ここで $d \ne 1$ を平方因子をもたない整数とする。

以前やったように

\[\exists \sigma \in \operatorname{Gal}(\mathbb Q(\sqrt{d})/\mathbb Q) (\sigma(\sqrt{d}) = -\sqrt{d}).\]

だから $\operatorname{Gal}(\mathbb Q(\sqrt{d})/\mathbb Q) = \lbrace 1, \sigma \rbrace.$ この群は巡回群 $Z_2$ に同型である。 $\blacksquare$

例：$L \coloneqq \mathbb Q(\sqrt{2}, \sqrt{3})$ とする。 代数拡大 $L/\mathbb Q$ は生成元の共役をすべて含むから正規拡大である。

これが $4$ 次の分離拡大であることは以前確かめた。したがって Galois 拡大である。

$\operatorname{Gal}(L/\mathbb Q)$ もそのときに得た（当時の記号を用いる）：

\[\operatorname{Gal}(L/\mathbb Q) = \{ 1, \sigma, \tau, \sigma\tau \}.\]

この群は Klein の四元群 $V$ に同型なのだった。 $\blacksquare$

例：$L \coloneqq \mathbb Q(\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{2}\omega, \sqrt[3]{2}\omega^2)$ は $\mathbb Q$ の Galois 拡大である。

  • $L = \mathbb Q(\sqrt[3]{2}, \sqrt{3}i).$
  • $L$ は $F \coloneqq \mathbb Q(\sqrt[3]{2})$ の Galois 閉包である。

以下 Galois 群 $\operatorname{Gal}(L/\mathbb Q)$ を決定する。まず位数だ。 $[L : F] \le 2$ および $L \ne F$ を示すことで $[L : F] = 2$ を示す（略）。 したがって次の評価を得る：

\[\begin{aligned} \lvert \operatorname{Gal}(L/\mathbb Q) \rvert &= [L : \mathbb Q]\\ &= [L : F][F : \mathbb Q]\\ &= 2 \times 3\\ &= 6. \quad\Box \end{aligned}\]

次に恒等写像を含む $6$ 個の同型写像を決定する。これは $3$ 次対称群と同型だ （本文の説明がよくわからないが、あみだくじ的感覚でそうなることは納得できる）。 $\blacksquare$

例：体 $K$ に対して $K^s/K$ は Galois 拡大だと上で述べた。 $\blacksquare$

このあと群の作用の応用をするので、関連する用語をまとめて定義する。

$L$ を体、$\operatorname{Aut}(L)$ を $L$ の自己同型群、$G$ を群とする。

  • 準同型写像 $\rho\colon G \longrightarrow \operatorname{Aut}(L)$ を $G$ の $L$ への作用という。
  • さらに $\ker\rho$ を作用の核という。
  • もし $\rho$ が単射ならば、この作用は忠実であるという。

$L$ が $K$ の拡大体であり、上記定義中の $\operatorname{Aut}(L)$ を $\operatorname{Aut}_K(L)$ で置き換えた概念を $K$ 上の作用と呼ぶ。

体の作用への例をいくつか。

例： $\operatorname{Aut}(L)$ は $L$ に（左から）忠実に作用する。

拡大体 $L/K$ に対して $\operatorname{Aut}_K(L)$ も $L$ に忠実に作用する。

$L/K$ が Galois 拡大ならば $\operatorname{Gal}(L/K)$ は $L$ に忠実に作用する。 $\blacksquare$

例（有理関数体と対称群）： $k$ を体とし $L \coloneqq k(X) = k(X_1, \dotsc, X_n)$ を $k$ 上の $n$ 変数有理関数体とする。 $G \coloneqq \mathfrak S_n$ とし、$\sigma \in G$ に対して

\[\sigma(X_i) \coloneqq X_{\sigma(i)}\]

とする。これは多項式環 $k[X]$ の $k$ 自己同型に拡張される（何？）。

$L$ は $k[X]$ の商体なので、$L$ の自己同型で上の関係を満たす $\sigma$ がある。 これにより $G$ は $L$ に作用する。 $\blacksquare$

例（複素数体上の二変数関数体）： $L \coloneqq \mathbb C(X, Y)$ とし、$\zeta \coloneqq \exp(2\pi i/n)$ とする。

$X \ne Y$ から

\[\exists \sigma \in \operatorname{Aut}_{\mathbb C}(\mathbb C(X, Y))(\sigma(X) = \zeta X \land \sigma(Y) = \zeta Y).\]

$\sigma$ は $\operatorname{Aut}_{\mathbb C}(L)$ の元に拡張（i.e. 写像の制限の逆）できる。

\[\sigma^j(X) = \zeta^jX = X \iff n \mid j.\]

（もちろん $Y$ についても同様）であるから $\sigma$ の位数は $n$ である。

したがって $\sigma$ で生成された群 $G \coloneqq \langle\sigma\rangle$ は巡回群 $Z_n$ と同型である。$Z_n$ は $L$ に忠実に作用する。

$a \ge 2$ を整数とする。作用 $j + an\Z \longmapsto \sigma^j$ は $\Z/an\Z$ は $L$ に作用しているが忠実ではない。

なぜなら $n + an\Z \ne an\Z$ だが $\sigma^n = 1$ が成り立ち単射ではないからだ。 $\blacksquare$

Galois 群を Galois 拡大体だけではなく分離多項式にも定義しておく：

$f(X) \in K[X]$ を分離多項式とする。この根を $\alpha_1, \dotsc, \alpha_n$ とし、 これら全てを添加した体を $L \coloneqq K(\alpha_1, \dotsc, \alpha_n)$ とおく。 $L/K$ は Galois 拡大になっている。$\operatorname{Gal}(L/K)$ を $f(X)$ の Galois 群と定義する。

この $\operatorname{Gal}(L/K)$ は $n$ 次対称群の部分群とみなせる。 $\sigma \in \operatorname{Gal}(L/K)$ が $\sigma(\alpha_1), \dotsc, \sigma(\alpha_n)$ で定まるからだ。

命題：次は同値である：

  • $(1)$ $f(X) \in K[X]$ は既約。
  • $(2)$ $\operatorname{Gal}(L/K)$ は集合 $\lbrace \alpha_1, \dotsc, \alpha_n \rbrace$ に推移的に作用する。

証明：$(1) \implies (2):$ $L$ は $K$ の有限次 Galois 拡大につき $\operatorname{Hom} _ K(K, \overline{K}) = \operatorname{Gal}(L/K).$

分離拡大と準同型写像の関係により、任意の $i, j \in n$ について $\sigma \in \operatorname{Hom}_K(K, \overline{K})$ が存在して $\sigma(\alpha_i) = \alpha_j.$

したがって $(1) \implies (2)$ が示された。 $\Box$

$(2) \implies (1):$ $\forall i \in n \forall j \in n \exists \sigma \in \operatorname{Gal}(L/K)(\sigma(\alpha_i) = \alpha_j)$ と仮定する。 このとき分離拡大と準同型写像の関係により $\alpha_j$ は $\alpha_i$ の $K$ 上の共役である。 したがって $f(X)$ の根はすべて $\alpha_i$ の最小多項式の根である。 $f(X)$ はこの最小多項式を割り切るので、単数である定数倍を除いて $f(X)$ に等しい。 $\blacksquare$

$k$ 次の基本対称式の定義（略）。

命題（有限群の不変体 by Artin）： $L$ を体、$G$ を有限群であって準同型 $\rho\colon G \longrightarrow \operatorname{Aut}(L)$ により $L$ に忠実に作用するとする。

このとき

\[K \coloneqq L^G \coloneqq \{\alpha \in L\,|\,\forall g \in G(\rho(g)(\alpha) = \alpha)\}\]

とおくと $L/K$ は Galois 拡大であり、$\operatorname{Gal}(L/K) \cong G.$

検討：

  • $\alpha \in L$ を一つとり、その軌道を考える
  • $L/K$ が分離拡大かつ代数拡大であることを示す
  • $L/K$ が有限次拡大であることを示す
  • 有限次分離拡大が単拡大であることを利用して数え上げをし、正規拡大であることを示す
  • 最後に群の同型を示す
  • $[L : K] = \lvert G \rvert$ を含意することに注意。後で使う。

証明：$\alpha \in L$ とする。これに対して $\alpha_1, \dotsc, \alpha_n$ を次で定める：

\[\{\alpha_1, \dotsc, \alpha_n\} \coloneqq \{\rho(g)(\alpha)\,|\, g \in G\}.\]

$\rho(g)$ は $\alpha_1, \dotsc, \alpha_n$ の置換を引き起こす。

$s_1, \dotsc, s_n$ を $\alpha_1, \dotsc, \alpha_n$ の基本対称式とする。 例えば $s_1 \coloneqq \alpha_1 + \dotsb + \alpha_n.$ 基本対称式は $\alpha_1, \dotsc, \alpha_n$ の置換により不変であるから $K = L^G$ の元である。

\[\begin{aligned} f(X) &\coloneqq (X - \alpha_1)\dotsm(X - \alpha_n)\\ &= X^n - s_1X^{n - 1} + \dotsb + (-1)^n s_n \in K[X] \end{aligned}\]

とおく。定義から重根を持たない。一方 $\alpha$ の最小多項式を $g(X)$ とおくと $g(X) \mid f(X).$ したがって $g(X)$ も重根を持たない。 以上のことから $\alpha$ が $K$ 上分離的であることが示された。 したがって $L/K$ は分離拡大であることが示された。

次に $[L : K] \le \lvert G \rvert$ を示す。 背理法を使いたいので $[L : K] \gt \lvert G \rvert$ を仮定して矛盾を導く。

このとき $\beta_1, \dotsc, \beta_t \in L$ を $t \gt \lvert G \rvert$ で $K$ 上線形独立であるようにとれる。すると $[K(\beta_1, \dotsc, \beta_t) : K] \gt \lvert G \rvert.$ しかし $K(\beta_1, \dotsc, \beta_t)/K$ が有限次分離拡大であるので、 ある元の単拡大として表される： $\exists y \in L (K(\beta_1, \dotsc, \beta_t) = K(y)).$ $y$ の $G$ における固定部分群 $G_y$ を考えると $t = \lvert G \rvert/\lvert G_y\rvert$ なので $[K(y) : K] \le t = \lvert G \rvert/\lvert G_y\rvert \le \lvert G \rvert.$ これは矛盾である。

背理法により $[L : K] \le \lvert G \rvert$ が成り立つことが示された。 特に $L/K$ は有限次拡大である。

$L/K$ は有限次代数拡大であるので、単拡大である。すなわち $\exists \alpha \in L(L = K(\alpha)).$

$\rho$ が忠実な作用である、つまり単射であるので

\[\begin{aligned} &\phantom{\therefore}\lvert \{\rho(g) \,|\, g \in G\}\rvert = \lvert G \rvert.\\ &\therefore \lvert \{\rho(g)(\alpha) \,|\, g \in G\}\rvert = \lvert G \rvert.\\ &\therefore [L : K] = [K(\alpha) : K] = \lvert G \rvert. \end{aligned}\]

$\lbrace\rho(g)(\alpha) \,\mid\, g \in G\rbrace \subset L$ で $\alpha$ のすべての共役を尽くすので $L/K$ は正規拡大である。上の結果と合わせて Galois 拡大であることが示された。 $\Box$

$K$ のとり方から $\rho(G) \subset \operatorname{Aut}_K(L).$ $\rho$ が単射であることから

\[\begin{aligned} \lvert G \rvert \le \lvert \operatorname{Aut}_K(L)\rvert &= \lvert \operatorname{Hom}_K(L, L)\rvert\\ &\le \lvert \operatorname{Hom}_K(L, \overline{K})\rvert\\ &\le [L : K] = \lvert G \rvert. \end{aligned}\]

したがって $\le$ はいずれも $=$ である。これにより $G \cong \operatorname{Aut}_K(L)$ が示された。 $\blacksquare$

不変体の例を二つ。

例（対称式は基本対称式の有理式で表せる）： $K = L^G = k(X)^{\mathfrak S_n}$ とおくと $[L : K] = [L : L^G] = n!.$

$s_1, \dotsc, s_n$ を $X_1, \dotsc, X_n$ の基本対称式とすると以前と同様に $s_1, \dotsc, s_n \in K.$ したがって $F \coloneqq k(s_1, \dotsc, s_n) \subset K.$

$X_1, \dotsc, X_n$ は多項式 $f(T) \coloneqq T^n - s_1T^{n - 1} + \dotsc + (-1)^ns_n$ のすべての根。

  • 多項式 $f(T)$ は重根を持たないので $L/F$ は分離拡大。
  • $L/F$ は $X_1, \dotsc, X_n$ で生成されるので正規拡大。

したがって Galois 拡大である。

  • $f(T)$ の係数がすべて $F$ の元であるから $\sigma \in \operatorname{Gal}(L/F)$ は $f(T)$ の根の集合を変えない：$X_1, \dotsc, X_n$ の置換を引き起こす。
  • $L/F$ は $X_1, \dotsc, X_n$ で生成されるので $\sigma$ は $\sigma(X_1), \dotsc, \sigma(X_n)$ で決定される。

したがって $[L : F] = \lvert \operatorname{Gal}(L/K)\rvert \le n!.$

Artin の定理により $\operatorname{Gal}(L/K) \cong \mathfrak S_n.$ $n! = [L : K] \le [L : F] \le n!$ なので不等号では等号が成立。 $F \subset K$ なので $K = F.$

したがって $K = k(s_1, \dotsc, s_n),\;\operatorname{Gal}(L/K) \cong \mathfrak S_n.$ $\blacksquare$

例（さっきの複素数体の例）： $L \coloneqq \mathbb C(X, Y),$ $\zeta \coloneqq \exp(2\pi i/n),$ $\sigma\colon X \longmapsto \zeta X,\;Y \longmapsto \zeta Y,$ $G \coloneqq \langle\sigma\rangle.$

$K \coloneqq L^G$ とおく。$[L : K] = n.$ $T = X^n,$ $S = Y/X \in K.$

$F \coloneqq \mathbb C(T, S)$ とおくと $F \subset K.$ 実は $F = K$ であることを示す。

$Y = SX$ から $L$ は $F$ 上 $X$ で生成されている。$X^n = T \in F$ だから $[L : F] \le n.$ Artin の定理により $n = [L : K]$ かつ $\operatorname{Gal}(L/K) \cong Z_n.$

$n = [L : K] \le [L : F] \le n$ だから $K = F.$ したがって $\mathbb C(X, Y)^G = \mathbb C(X^n, Y/X).$ $\blacksquare$

有限次 Galois 拡大 $L/K$ に関連して定義をする。

  • $M$ が $L/K$ の中間体ならば

    \[H(M) \coloneqq \{g \in \operatorname{Gal}(L/K)\,|\, \forall x \in M(gx = x)\}.\]

  • $H \subset \operatorname{Gal}(L/K)$ が部分群ならば

    \[M_H \coloneqq \{x \in L\,|\,\forall g \in H(gx = x)\}.\]

    これを $H$ の不変体という。

「どんな中間体の元をも動かさない Galois 群の元全部」と 「どんな Galois 部分群の元に対しても不動な Galois 拡大体の元全部」ということか。

補題（中間体の Galois 拡大でもある）：$L/K$ を有限次 Galois 拡大、$M$ を $L/K$ の中間体とする。 このとき $L/M$ は Galois 拡大である。また $H(M) = \operatorname{Gal}(L/M).$

証明：「中間体上でも分離的」定理により $L/M$ が分離拡大である。

次に $\operatorname{Hom}_M(L, \overline{K}) \subset \operatorname{Hom}_K(L, \overline{K})$ につき $\varphi \in \operatorname{Hom}_M(L, \overline{K}) \implies \varphi(L) \subset L.$ 「正規拡大の条件」定理により $L/M$ は正規拡大である。

以上より $L/M$ は Galois 拡大である。

$H(M)$ つまり「$\operatorname{Gal}(L/M) = \operatorname{Aut}_M(L)$ の元であって、$M$ のどんな元をも動かさないものすべて」とは、 やはり $\operatorname{Gal}(L/M)$ を意味する。 $\blacksquare$