桂利行著『代数学 III 体とガロア理論』第一章章末問題の答案の続き。 いつものように作業環境の都合上、本書の記号を部分的に変更している。

$(29)$ 拡大体 $\mathbb Q\left(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}\right)$ は単拡大か。 もしそうならば単拡大としての生成元を一つ挙げろ。

解：有限次分離拡大であるから単拡大である。 以下、$\mathbb Q\left(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}\right) = \mathbb Q(\theta)$ をみたす $\theta \in \overline{\mathbb Q}$ を決定する。

問 $(16) \text{(i)}$ で $[\mathbb Q\left(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}\right) : \mathbb Q] = 8$ は得た。

$\mathbb Q\left(\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}\right)$ から $\overline{\mathbb Q}$ の中への $\mathbb Q$ 準同型写像のいずれの $\sigma, \tau,\;(\sigma \ne \tau)$ に対しても $\sigma(\theta) \ne \tau(\theta)$ の像が異なるものを探す。

\[\begin{aligned} \sigma_2\colon\sqrt{2} & \longmapsto -\sqrt{2},\\ \sigma_3\colon\sqrt{3} & \longmapsto -\sqrt{3},\\ \sigma_5\colon\sqrt{5} & \longmapsto -\sqrt{5} \end{aligned}\]

とおくと $\operatorname{Hom}_{\mathbb Q}(\mathbb Q, \overline{\mathbb Q}) = \langle \sigma_2, \sigma_3, \sigma_5 \rangle.$ これは相異なる $8$ 個の準同型写像からなる。

ここからどの相異なる準同型写像二つ $\sigma, \tau$ のいずれについても $\theta \coloneqq \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}$ に対して $\sigma(\theta)\ne\tau(\theta)$ が成り立つ。 $\blacksquare$

$(30)$ $\mathbb F_2$ に $X^2 + X + 1 = 0$ の一根 $\zeta_2 \in \overline{\mathbb F_2}$ と $X^3 + X + 1 = 0$ の一根 $\zeta_3 \in \overline{\mathbb F_2}$ を添加した拡大体 $\mathbb F_2(\zeta_2, \zeta_3)/\mathbb F_2$ は単拡大か。

検討： $\mathbb F_2(\zeta_2)/\mathbb F_2 = \lbrace 0, 1, \zeta_2, 1 + \zeta_2\rbrace.$ 例えば $\zeta_2^2 = -(\zeta_2 + 1) = \zeta_2 + 1$ に注意。 だから $\lvert \mathbb F_2(\zeta_2) \rvert = 4 = \lvert \mathbb F_2\rvert^2.$

$\mathbb F_2(\zeta_3)/\mathbb F_2 = \lbrace 0, 1, \zeta_3, \zeta_3^2, 1 + \zeta_3, 1 + \zeta_3^2, \zeta_3 + \zeta_3^2, 1 + \zeta_3 + \zeta_3^2\rbrace.$ したがって $\lvert \mathbb F_2(\zeta_3) \rvert = 8 = \lvert \mathbb F_2\rvert^3.$

これで $\lvert \mathbb F_2(\zeta_2, \zeta_3) \rvert = 64 = 4^3 = 8^2$ が納得できた。

解：$[\mathbb F_2(\zeta_2) : \mathbb F_2] = 2,$ $[\mathbb F_2(\zeta_3) : \mathbb F_2] = 3,$ そして $\mathbb F_2(\zeta_2)$ と $\mathbb F_2(\zeta_3)$ に拡大・部分体関係がないことから、

\[\begin{aligned} [\mathbb F_2(\zeta_2, \zeta_3) : \mathbb F_2] &= [\mathbb F_2(\zeta_2, \zeta_3) : \mathbb F_2(\zeta_2)][\mathbb F_2(\zeta_2) : \mathbb F_2]\\ &= 6. \end{aligned}\]

有限体の $6$ 次拡大であることから、$\lvert \mathbb F_2(\zeta_2, \zeta_3) \rvert = \lvert \mathbb F_2 \rvert^6 = 2^6 = 64.$ したがって $\mathbb F_2(\zeta_2, \zeta_3) = \mathbb F_{64}.$

$1$ の原始 $64$ 乗根を $\theta$ とおけば $\mathbb F_{64} = \mathbb F_2(\theta).$ したがって $\mathbb F_2(\zeta_2, \zeta_3)/\mathbb F_2$ は単拡大である。 $\blacksquare$

$(31)$ 体 $K$ の代数的拡大 $K(\alpha, \beta)$ において $\alpha$ が $K$ 上分離的であるならば $K(\alpha, \beta)/K$ は単拡大である。

検討：有限次分離拡大が単拡大であるの証明と同様の推論をする。

証明： $\text{(i)}$ 基礎体 $K$ が有限体のときを示す。 有限体の有限次代数拡大は有限体であり標数は素数である。 したがって乗法群が巡回群である。その生成元 $\theta$ に対して $K(\alpha, \beta) = K(\theta)$ が成り立つ。 $\Box$

$\text{(ii)}$ $K$ が無限体のときに成り立つことを示す。 $L \coloneqq K(\alpha, \beta)/K$ とおく。

$\alpha, \beta \in L$ の $K$ 上の最小多項式をそれぞれ $f(X), g(X)$ とおく。 また $m \coloneqq \deg f(X),\;n \coloneqq \deg g(X)$ とおく。

拡大体 $\Omega/L$ を $\lbrace f(X), g(X) \rbrace$ の分解体の一つとする。 $\Omega[X]$ での $f, g$ の因数分解をつぎのようにする：

\[\begin{aligned} f(X) &= \prod_{i = 1}^m(X - \alpha_i),\;\alpha_1 = \alpha,\\ g(X) &= \prod_{i = 1}^n(X - \beta_i),\;\beta_1 = \beta.\\ \end{aligned}\]

$\alpha$ が $K$ 上ですでに分離的であることから $\Omega/L/K$ 上も分離的であり $f(X)$ には重根がない。 したがって

\[\alpha_i - \alpha_j\quad (i \ne j, 1 \le i \le m, 1 \le j \le m)\]

は $0$ にはならない。

\[\frac{\beta_k - \beta_l}{\alpha_i - \alpha_j},\\ (i \ne j, 1 \le i \le m, 1 \le j \le m, 1 \le k \le n, 1 \le l \le n)\]

を考える。$K$ が無限体であることから、このいずれのものとも異なる $c \in K$ が存在する。ここで $\theta \coloneqq c\alpha + \beta$ とおく。 このとき $L = K(\theta)$ が成り立つ。以下それを示す。

$K(\theta) \subset L$ は明らか。$K(\theta) \subset L$ を示せばいい。 $f(X) = 0$ と $g(\theta - cX) = 0$ がただ一つの根しか共有しないことを最初に示す。

\[g(\theta - cX) = \prod_{i = 1}^n(\theta - cX - \beta_i),\;\beta_1 = \beta.\]

このとき：

\[\begin{aligned} \theta - c\alpha - \beta_1 &= \beta - \beta_1 = 0, && X = \alpha, i = 1,\\ \theta - c\alpha_i - \beta_i &= c(\alpha - \alpha_i) + (\beta - \beta_i) \ne 0, &&X = \alpha_k, i = 2, \dotsc, n. \end{aligned}\]

したがって $X = \alpha = \alpha_1$ は $g(\theta - cX) = 0$ の根であり、 $\alpha_2, \dotsc, \alpha_n$ はそうではない。 したがって $f(X) = 0$ と $g(\theta - cX) = 0$ がただ一つの根しか共有しないことが示された。 $\Box$

$\alpha$ の $K(\theta)$ 上の最小多項式 $q(X)$ を考える。 以上のことから $q(X)$ は $f(X)$ と $g(\theta - cX)$ のどちらも割り切る。 よって $\deg q(X)$ は $f$ と $g$ の共通因子の次数 $1$ に等しい。 これはある $\gamma \in K(\theta)$ が存在して

\[q(X) = X + \gamma\]

と表されることを意味する。このことから

\[\begin{aligned} 0 &= q(\alpha) = \alpha + \gamma = 0.\\ \therefore \alpha &= -\gamma \in K(\theta).\\ \therefore \beta &= \theta - c\alpha \in K(\theta). \end{aligned}\]

したがって $K(\alpha, \beta) = L \subset K(\theta)$ が示された。

以上により $L/K$ は単拡大であることが示された。 $\blacksquare$

$(32)$ $n$ 次分離拡大の中間体の個数は $2^{n - 1}$ 以下である。

証明：$L/K$ を $[L : K] = n$ であるような分離拡大とする。 有限次分離拡大であるから単拡大である。 すなわちある $\alpha \in L$ が存在して $L = K(\alpha).$

$\alpha$ の $K$ 上の最小多項式を $f(X) \in K[X]$ とおく。$\deg f(X) = n.$

$M$ を $L/K$ の中間体とする。$g(X) \in M[X]$ を $\alpha$ の $M$ 上の最小多項式とする。 $g(X)$ の係数はすべて $M$ に含まれる：

$M^{\prime}$ を $M$ に $g(X)$ の係数すべてを $K$ に添加した拡大体とする。 このとき $M^{\prime} \subset M.$ $g(X)$ は $\alpha$ の $M^{\prime}$ 上の最小多項式でもある。 したがって $[L : M] = [L : M^{\prime}] = \deg g(X).$ したがって $M = M^{\prime}$ であることが示された。$\Box$

これにより、中間体 $M$ それぞれは $f(X)$ の因子により定まることがわかった。 部分体の個数は高々 $f(X)$ の因数の個数である。

\[f(X) = (X - \alpha)\prod_{i = 1}^{n - 1}(X - \alpha_i),\quad \alpha_i \in \overline{K}.\]

分離多項式であるから $i \ne j \implies \alpha_i \ne \alpha_j.$ この $\prod$ の部分から因数を取捨選択する方法が $2^{n - 1}$ 通りある。 したがって $n$ 次分離拡大の中間体の個数は高々 $2^{n - 1}$ であることが示された。 $\blacksquare$

なぜ「以下」なのか考えてみよう。

$(33)$ 有限次拡大 $L/K$ が単拡大である条件は中間体の個数が有限であることである。

証明：$n \coloneqq [L : K] \lt \infty$ とおく。

$\implies:$ 前問の証明における「$\alpha \in L$ を～」以降の議論が通用する。 したがって有限次拡大 $L/K$ が単拡大であるならば中間体の個数が有限であることが示された。 $\Box$

$\impliedby:$ 中間体の個数が有限であると仮定する。

$K$ が有限体であるとき $L/K$ が単拡大であることは明らかである： 有限次分離拡大が単拡大であるの証明において、基礎体が有限体である場合の議論では分離拡大性を用いていないことに注意。

$K$ が無限体であると仮定する。拡大次数 $n$ に関する数学的帰納法で示す。

$n = 2$ のとき成り立つことを示す。$L = K(\alpha_1, \alpha_2)$ とおく。 $x \in K$ を一つ取り、$K(\alpha_1 x + \alpha_2)$ の形の単拡大すべてを考える。 $\lvert K \rvert = \infty$ だから $x \in K$ のとり方は無数に存在する。 $L/K$ には中間体が有限個しか存在しないから、次のような $x, y \in K$ が存在する：

\[x \ne y,\; K(\alpha_1 x + \alpha_2) = K(\alpha_1 y + \alpha_2).\]

$\theta \coloneqq \alpha_1 x + \alpha_2$ とおく。 $K(\theta) = K(\alpha_1 x + \alpha_2) \subset K(\alpha, \beta)$ であるから $\alpha_1, \alpha_2 \in K(\theta)$ を示せば十分である。

$x \ne y$ および $\alpha_1 x + \alpha_2 \in K(\theta)$ から $\alpha_1$ について

\[\begin{aligned} \alpha_1 &= \alpha_1 \cdot \frac{\alpha_1 (x - y)}{x - y}\\ &= \frac{\alpha_1 x + \alpha_2 - \alpha_1 y - \alpha_2}{x - y}\\ &= \frac{(\alpha_1 x + \alpha_2) - (\alpha_1 y + \alpha_2)}{x - y}\\ &\in K(\theta). \end{aligned}\]

同様に $\alpha_2 \in K(\theta)$ が示せるので、$K(\theta) = K(\alpha_1, \alpha_2)$ が示された。

$n = 2, \dotsc, m$ について $K(\alpha_1, \dotsc, \alpha_m)$ が単拡大であると仮定すると $L = K(\alpha_1, \dotsc, \alpha_m, \alpha_{m + 1}) = K(\alpha_1, \dotsc, \alpha_m)(\alpha_{m + 1})$ とみなせるので $n = 2$ のときの議論が成り立つ。

数学的帰納法によりすべての $n \in \N$ について、 無限体 $K$ の有限次拡大 $L$ が単拡大であることが示された。

したがって有限次拡大 $L/M$ が単拡大であることが示された。 $\blacksquare$

$(34)$ $K$ を標数 $p \ne 0$ の体とし、$a$ を $K$ 上代数的な数であるとする。

このとき $a$ が $K$ 上分離的である条件は $K(a) = K(a^p)$ である。

証明：対偶をチェックする。

$\implies:$ $K(a) \supsetneq K(a^p)$ が成り立つならば $a$ は $K(a^p)$ 上分離的でない。 したがって $K(a^p) \supsetneq K$ 上も分離的でない。 $\Box$

$\impliedby:$ $a$ が $K$ 上分離的でなければ $a$ の最小多項式は $X^p$ の多項式の形をとる。これを $f(X^p)$ とすると、$f(X)$ は $a^p$ の最小多項式である。

\[\begin{aligned} \deg f(X^p) &= [K(a) : K]\\ & = [K(a) : K(a^p)][K(a^p) : K]\\ & = p[K(a^p) : K]. \end{aligned}\]

したがって $K(a) \supsetneq K(a^p).$ $\blacksquare$

間違えないように書いておくと $K(a) \supset K(a^p) \supset K.$

$(35)$ 有限次代数的拡大 $L/K$ における任意の $L$ から $L$ の中への $K$ 準同型写像は $L$ の上への写像であり、すなわち $K$ 自己同型写像である。

証明：$\sigma \in \operatorname{Hom}_K(L, \overline{K})$ とする。

$\sigma$ は体の準同型写像であるから単射である。

$\sigma$ が $L$ への全射であることを示す。$\sigma(L) = L$ を示したい。 $\dim\ker\sigma + \dim\operatorname{im}{\sigma} = [L : K] = \dim_KL$ かつ $\ker\sigma = 0$ から $\dim_LK = \dim\operatorname{im}\sigma.$ したがって $\sigma$ は全射である。

したがって $\operatorname{Hom}_K(L, \overline{K}) \subset \operatorname{Aut}_K(L)$ であることが示された。 $\blacksquare$

ベクトル空間の問題として考えることは合っている。

$(36)$ $\mathbb C$ から $\mathbb C$ への体の単射準同型写像は自己同型写像であるか。

※この問題は超越拡大性を考慮する要素があるのでやらない。ちなみに解は No.

$(37)$ 体 $\mathbb C$ の自己同型群は無限群である。

※この問題は超越拡大性を考慮する要素があるのでやらない。