荻上紘一著『多様体』ノート。

タイプ作業の都合上、記号の一部は VS Code の snippet になっていたりするために本書と異なる。

第 3 章 三次元 Euclid 空間内の曲面（続）

§3.2 第一基本形式

定義：Euclid 空間 $E^3$ 内の曲面 $M$ の第一基本形式、 あるいは $E^3$ から $M$ に導入される Riemann 計量とは、 $E^3$ の内積を $M$ の接平面に制限したものである。

各点 $p \in M$ における接平面を $T_pM$ を $E^3$ の $2$ 次元部分空間とみなす。

第一基本形式を求める。

以下、曲面と座標を次のように表現する。

\[\def\par{ u_\alpha, v_\alpha } \begin{array}{rc} M & = \bigcup_{\alpha}M_\alpha,\\[6.0ex] \varphi_\alpha \colon& D_\alpha & \longrightarrow & M_\alpha,\\[1.0ex] &(\par) & \longmapsto & (x(\par), y(\par), z(\par)). \end{array}\]

点 $p \in M_\alpha$ を任意にとる。$T_p(M)$ は $\bm r_{u_\alpha}, \bm r_{v_\alpha}$ によって張られるので、一般の接ベクトル $X, Y \in T_p(M)$ を

\[X \coloneqq \xi^1\bm r_{u_\alpha} + \xi^2\bm r_{v_\alpha},\quad Y \coloneqq \eta^1\bm r_{u_\alpha} + \eta^2\bm r_{v_\alpha}\]

と表す。まずこれらの $E^3$ 内での内積を計算する。

\[\begin{aligned} &\phantom{=}X \cdot Y\\ &= (\xi^1\bm r_{u_\alpha} + \xi^2\bm r_{v_\alpha}) \cdot (\eta^1\bm r_{u_\alpha} + \eta^2\bm r_{v_\alpha})\\ &= \xi^1\eta^1 \bm r_{u_\alpha} \cdot \bm r_{u_\alpha} + \xi^1\eta^2 \bm r_{u_\alpha} \cdot \bm r_{v_\alpha} + \xi^2\eta^1\bm r_{v_\alpha} \cdot \bm r_{u_\alpha} + \xi^2\eta^2\bm r_{v_\alpha} \cdot \bm r_{v_\alpha}\\ &= \!\begin{pmatrix}\xi^1 & \xi^2\end{pmatrix}\! \begin{pmatrix} \bm r_{u_\alpha} \cdot \bm r_{u_\alpha} & \bm r_{u_\alpha} \cdot \bm r_{v_\alpha}\\[1.0ex] \bm r_{v_\alpha} \cdot \bm r_{u_\alpha} & \bm r_{v_\alpha} \cdot \bm r_{v_\alpha} \end{pmatrix}\! \!\begin{pmatrix}\eta^1 \\[1.0ex] \eta^2\end{pmatrix}\!. \end{aligned}\]

この対称行列を $M$ の第一基本形式の $M_\alpha$ における成分という。

問：この対称行列は正定値である。

証明：与えられた行列を別ページの記号に合わせて $G_\alpha$ とする。 $\bm x \coloneqq {}^t(a, b) \ne \bm o\in \R^2$ に対して $^t\bm x G_\alpha \bm x \gt 0$ を示す。

\[\begin{aligned} {}^t\bm x G_\alpha \bm x &= a^2 \bm r_{u_\alpha} \cdot \bm r_{u_\alpha} + 2ab \bm r_{u_\alpha} \cdot \bm r_{v_\alpha} + b^2\bm r_{v_\alpha} \cdot \bm r_{v_\alpha}\\ &= (a\bm r_{u_\alpha} + b\bm r_{v_\alpha}) \cdot (a\bm r_{u_\alpha} + b\bm r_{v_\alpha})\\ &= \lVert a\bm r_{u_\alpha} + b\bm r_{v_\alpha}\rVert^2.\\ \end{aligned}\]

接ベクトル $\bm r_u, \bm r_v$ は一次独立であるから、この右辺は零ベクトルの大きさの平方ではなく、すなわち正である。

したがって行列 $G_\alpha$ は正定値であることが示された。 $\blacksquare$

問：$M_\alpha \cap M_\beta \ne \varnothing$ における行列の変換を求めろ。

解：前回ノートより $M_\alpha \cap M_\beta$ におけるそれぞれの基底の関係は座標変換の行列で表せる：

\[\def\coords#1{ \begin{pmatrix} \bm r_{u_{#1}} & \bm r_{v_{#1}} \end{pmatrix} } \coords{\alpha}\coords{\beta} = \frac{\partial (u_\beta, v_\beta)}{\partial (u_\alpha, v_\alpha)}.\]

ゆえに、この右辺を $J$ とおき、$M_\alpha, M_\beta$ における内積から決まる対称行列をそれぞれ $G_\alpha, G_\beta$ とおくと、

\[\begin{aligned} G_\alpha &= {}^tJ G_\beta J.\\ \end{aligned}\]

乗積の数式を書くこともできるはずだ。 $\blacksquare$

第一基本形式の標準的な表記。

以下しばらく添字 ${}\alpha$ を省く。まず行列の成分のもとになる値 $g{??}$ を定義する：

\[g_{11} \coloneqq \bm x_u \cdot \bm x_u,\quad g_{12} = g_{21} \coloneqq \bm x_u \cdot \bm x_v,\quad g_{22} \coloneqq \bm x_v \cdot \bm x_v.\]

次に $E, F, G$ を定義する：

\[E \coloneqq \varphi^\ast g_{11},\quad F \coloneqq \varphi^\ast g_{12} = \varphi^\ast g_{21},\quad G \coloneqq \varphi^\ast g_{22}\]

次の量 $I,$ または $g$ が第一基本形式である：

\[\begin{aligned} I &\coloneqq E\,\mathrm du^2 + 2F\,\mathrm du\mathrm dv + G\,\mathrm dv^2\\ &= \!\begin{pmatrix}\mathrm du & \mathrm dv\end{pmatrix}\! \!\begin{pmatrix} E & F\\ F & G \end{pmatrix}\! \!\begin{pmatrix}\mathrm du \\ \mathrm dv\end{pmatrix}\!.\\ \end{aligned}\]

ここで $I = \lVert\mathrm d\bm r\rVert^2.$

$\theta^i\;(i = 1, 2)$ を前回のノートで定義される量とすると、

\[\begin{aligned} g &\coloneqq \sum_{i, j = 1}^2 g_{ij}\theta^i\theta^j\\ &= \!\begin{pmatrix}\theta^1 & \theta^2\end{pmatrix}\! \!\begin{pmatrix} g_{11} & g_{12}\\[1.0ex] g_{21} & g_{22} \end{pmatrix}\! \!\begin{pmatrix}\theta^1 \\[1.0ex] \theta^2\end{pmatrix}\!. \end{aligned}\]

$I$ と $g$ はそれぞれ $D$ と $M$ の上の $2$-form であり $I = \varphi^\ast g$ の関係が成り立つ。両者を同一視することが多い。

球面 $S^2$ の例を説明する。まず曲面をパラメーター表示する（局所的な表現であることは忘れぬこと）。

\[\begin{aligned} x &= a\cos v\cos u,\\ y &= a\cos v\sin u,\\ z &= a\sin v. \end{aligned}\]

この表示の下、$u$-方向、$v$-方向の接ベクトルはそれぞれ

\[\bm r_u = \!\begin{pmatrix}-a\cos v\sin u \\ a\cos v \cos u \\ 0\end{pmatrix}\!, \bm r_v = \!\begin{pmatrix}-a\sin v\cos u \\ -a\sin v \sin u \\ a \cos v\end{pmatrix}\!.\]

したがって各 $g_{??}$ は：

\[\begin{aligned} g_{11} &= \bm x_u \cdot \bm x_u = a^2\cos^2v,\\ g_{12} &= g_{21} = \bm x_u \cdot \bm x_v = 0,\\ g_{22} &= \bm x_v \cdot \bm x_v = a^2. \end{aligned}\]

すなわち第一基本形式は

\[I = a^2\cos^2v\,(\mathrm du)^2 + a^2\,(\mathrm dv)^2.\]

前回の曲面各種の第一基本形式を求める。

パラメーター表示がだいじなのでそれだけでも記す。

  • 楕円面 $(x, y, z) = (a\cos v\cos u, b\cos v\sin u, c \sin v)$
  • 一葉双曲面 $(x, y, z) = (a\cosh v\cos u, b\cosh v\sin u, c \sinh v)$
  • 二葉双曲面 $(x, y, z) = (a\sinh v\cos u, b\sinh v\sin u, c \cosh v)$
  • 楕円放物面 $(x, y, z) = (u, v, u^2/a^2 + v^2/b^2)$
  • 双曲放物面 $(x, y, z) = (u, v, u^2/a^2 - v^2/b^2)$
  • 円環面 $(x, y, z) = ((R + r\cos v)\cos u, (R + r\cos v)\sin u, r\sin v).$

手動で計算するのはしんどいので計算機を用いる。

楕円面： $x = a \cos u \cos v,\;y = b \sin u \cos v,\;z = c \sin v$ とおけば

\[\bm r_u = \begin{pmatrix}- a \sin u \cos v\\b \cos u \cos v\\0\end{pmatrix},\quad \bm r_v = \begin{pmatrix}- a \sin v \cos u\\- b \sin u \sin v\\c \cos v\end{pmatrix}\]

であるから

\[\begin{aligned} E &= \left(a^{2} \sin^2 u + b^{2} \cos^2 u\right) \cos^2 v,\\ F &= \frac{\left(a^{2} - b^{2}\right) \left(\cos{\left(2 u - 2 v \right)} - \cos{\left(2 u + 2 v \right)}\right)}{8},\\ G &= a^{2} \sin^{2}{\left(v \right)} \cos^2 u + b^{2} \sin^2 u \sin^{2}{\left(v \right)} + c^{2} \cos^2 v. \end{aligned}\]

一葉双曲面： $x = a \cos u \cosh v,\;y = b \sin u \cosh v,\;z = c \sinh v$ とおけば

\[\bm r_u = \begin{pmatrix}- a \sin u \cosh v\\b \cos u \cosh v\\0\end{pmatrix},\quad \bm r_v = \begin{pmatrix}a \cos u \sinh v\\b \sin u \sinh v\\c \cosh v\end{pmatrix}\]

であるから

\[\begin{aligned} E &= \left(a^{2} \sin^2 u + b^{2} \cos^2 u\right) \cosh^2 v,\\ F &= - \frac{\left(a^{2} - b^{2}\right) \sin{\left(2 u \right)} \sinh{\left(2 v \right)}}{4},\\ G &= a^{2} \cos^2 u \sinh^2 v + b^{2} \sin^2 u \sinh^2 v + c^{2} \cosh^2 v. \end{aligned}\]

二葉双曲面： $x = a \cos u \sinh v,\;y = b \sin u \sinh v,\;z = c \cosh v$ とおけば

\[\bm r_u = \begin{pmatrix}- a \sin u \sinh v\\b \cos u \sinh v\\0\end{pmatrix},\quad \bm r_v = \begin{pmatrix}a \cos u \cosh v\\b \sin u \cosh v\\c \sinh v\end{pmatrix}\]

であるから

\[\begin{aligned} E &= \left(a^{2} \sin^2 u + b^{2} \cos^2 u\right) \sinh^2 v,\\ F &= - \frac{\left(a^{2} - b^{2}\right) \sin{\left(2 u \right)} \sinh{\left(2 v \right)}}{4},\\ G &= a^{2} \cos^2 u \cosh^2 v + b^{2} \sin^2 u \cosh^2 v + c^{2} \sinh^2 v. \end{aligned}\]

楕円放物面： $\displaystyle x = u,\;y = v,\;z = \frac{v^{2}}{b^{2}} + \frac{u^{2}}{a^{2}}$ とおけば

\[\bm r_u = \begin{pmatrix}1\\[1.0ex]0\\[1.0ex]\dfrac{2 u}{a^{2}}\end{pmatrix},\quad \bm r_v = \begin{pmatrix}0\\[1.0ex]1\\[1.0ex]\dfrac{2 v}{b^{2}}\end{pmatrix}\]

であるから

\[\begin{aligned} E &= 1 + \frac{4 u^{2}}{a^{4}},\\ F &= \frac{4 u v}{a^{2} b^{2}},\\ G &= 1 + \frac{4 v^{2}}{b^{4}}. \end{aligned}\]

双曲放物面： $\displaystyle x = u,\;y = v,\;z = - \frac{v^{2}}{b^{2}} + \frac{u^{2}}{a^{2}}$ とおけば

\[\bm r_u = \begin{pmatrix}1\\[1.0ex]0\\[1.0ex]\dfrac{2 u}{a^{2}}\end{pmatrix},\quad \bm r_v = \begin{pmatrix}0\\[1.0ex]1\\[1.0ex]- \dfrac{2 v}{b^{2}}\end{pmatrix}\]

であるから

\[\begin{aligned} E &= 1 + \frac{4 u^{2}}{a^{4}},\\ F &= - \frac{4 u v}{a^{2} b^{2}},\\ G &= 1 + \frac{4 v^{2}}{b^{4}}. \end{aligned}\]

円環面： $x = \left(R + r \cos v\right) \cos u,\;y = \left(R + r \cos v\right) \sin u,\;z = r \sin v$ とおけば

\[\bm r_u = \begin{pmatrix}- \left(R + r \cos v\right) \sin u\\\left(R + r \cos v\right) \cos u\\0\end{pmatrix},\quad \bm r_v = \begin{pmatrix}- r \sin v \cos u\\- r \sin u \sin v\\r \cos v\end{pmatrix}\]

であるから

\[\begin{aligned} E &= \left(R + r \cos v\right)^{2},\\ F &= 0,\\ G &= r^{2}. \end{aligned}\]

曲面上の曲線の長さを第一基本形式を使って表すことができる。

まず曲面 $M$ 上の曲線 は $D$ 上の曲線の写像として与えられる。 $D$ 上の曲線は実数区間からの写像 $c(t)$ で表しておく：

\[\begin{array}{c} c \colon& {[a, b]} &\longrightarrow& D\\ &t &\longmapsto& (u(t), v(t)) \end{array}\]

これにより座標写像との合成 $\gamma \coloneqq \varphi \circ c$ で $M$ 上の曲線を表される。

曲線の長さは接ベクトルを積分する形で定義されるので、$\gamma$ の接ベクトルを検討する。

\[\begin{aligned} \dot\gamma &= \gamma_\ast\left(\frac{\partial }{\partial t}\right) = \varphi_\ast(\dot c)\\ &= \frac{\mathrm{d}\bm r}{\mathrm{d}t} = \frac{\partial u}{\partial t}\bm r_u + \frac{\partial v}{\partial t}\bm r_v. \end{aligned}\]

$\gamma$ の接ベクトルは $c$ の接ベクトル

\[\dot c = \frac{\partial u}{\partial t}\frac{\partial}{\partial u} + \frac{\partial v}{\partial t}\frac{\partial}{\partial v}\]

の成分を係数とする $\bm r_u, \bm r_v$ の一次結合で表されることがわかった。

接ベクトルの長さを求め、曲線 $\gamma$ の長さを求める。

\[\def\integrand{ \sqrt{E\!\left(\frac{\partial u}{\partial t}\right)^2 + 2F \frac{\partial u}{\partial t}\frac{\partial v}{\partial t} + G\!\left(\frac{\partial v}{\partial t}\right)^2} } \begin{aligned} \lVert \dot \gamma\rVert & = \integrand.\\ \operatorname{len}(\gamma) &= \int_a^b\!\integrand\,\mathrm dt. \end{aligned}\]

曲面上の曲線の長さは曲面片の取り方によらない。

命題：$M_\alpha \cap M_\beta \ne \varnothing$ における曲線の長さは $M_\alpha$ で測っても $M_\beta$ で測っても同じである。

検討：さっきの座標変換を利用すればいい。線形代数の問題だ。

証明： 局所座標系 $(M_\alpha, \varphi_\alpha)$ での第一基本形式の値を $E_\alpha, F_\alpha, G_\alpha$ のように表す。 上述の座標変換の行列 $J$ を用いて

\[\def\FFF#1{ E_\alpha \dot {u_{#1} }^2 + 2F_{#1} \dot {u_{#1} }\dot {v_{#1} } + G_{#1} \dot {v_{#1} } } \def\RV#1{ \!\begin{pmatrix}\dot u_{#1} & \dot v_{#1}\end{pmatrix}\! } \def\CV#1{ \!\begin{pmatrix}\dot u_{#1} \\ \dot v_{#1}\end{pmatrix}\! } \def\I#1{ \!\begin{pmatrix} E_{#1} & F_{#1}\\ F_{#1} & G_{#1} \end{pmatrix}\! } \begin{aligned} &\phantom{=} \FFF{\alpha}\\ &= \RV{\alpha} \I{\alpha} \CV{\alpha}\\ &= \RV{\alpha} {}^t\!J \I{\beta} J \CV{\alpha}\\ &= \RV{\beta} I{\beta} \CV{\beta}\\ &= \FFF{\beta}. \end{aligned}\]

したがって曲面上の曲線の長さは局所座標系のとり方によらないことが示された。 $\blacksquare$

曲面上の二点間の距離を次で定義する：

曲面上の二点間の距離とは、二点間を結ぶ曲面上の曲線のうち、その長さの下限で与えられるものとする。

この距離は一般には $E^3$ での距離よりも大きい。Pythagoras の定理。

定義：面積要素を次で定義する：

\[\sqrt{EG - F^2}\,\mathrm du \wedge \mathrm dv\]

$\Omega^2(D)$ の元である。

命題：向き付け可能な曲面上ではこの面積要素は曲面片のとり方によらず定まる。

検討：さっきの座標変換を利用すればいい。線形代数の問題だ。

証明：局所座標系 $(M_\alpha, \varphi_\alpha)$ での第一基本形式の値を $E_\alpha, F_\alpha, G_\alpha$ のように表す。 上述の座標変換の行列 $J$ を用いて

\[\def\I#1{ \!\begin{pmatrix} E_{#1} & F_{#1}\\ F_{#1} & G_{#1} \end{pmatrix}\! } \begin{aligned} \I{\alpha} = {}^t\!J\I{\beta}J. \end{aligned}\]

両辺の行列式をとることにより

\[\def\D#1{ E_{#1}G_{#1} - F_{#1}^2} \D{\alpha} = (\det J)^2\D{\beta}.\]

一方、全微分 $\mathrm du_\beta, \mathrm dv_\beta$ の外積をとれば次がわかる：

\[\def\W#1{ \mathrm du_{#1} \wedge \mathrm dv_{#1} } \W{\beta} = \det J\,\W{\alpha}.\]

この二式から $\det J$ を消去すれば次を得る：

\[\def\D#1{ E_{#1}G_{#1} - F_{#1}^2 } \def\W#1{ \mathrm du_{#1} \wedge \mathrm dv_{#1} } \sqrt{\D{\alpha} }\,\W{\alpha} = \sqrt{\D{\beta} }\,\W{\beta}.\]

したがって面積要素は局所座標系のとり方によらないことが示された。 $\blacksquare$

以上