荻上紘一著『多様体』ノート。

タイプの手間、過去ノートとの整合、VS Code の snippet 定義の都合により、一部記号が本書と異なる。 例えば法線ベクトルを $\bm n$ と改めてある。

第 3 章 三次元 Euclid 空間内の曲面（続）

§3.3 第二基本形式

曲面の曲がり具合を定義することを考える。 まず、曲面と接平面とのズレのようなものを記述できるようにする。 しばらくの間局所座標系の添字を略す。座標変換の問題のときなどには明示する。

定義：曲面片の単位法ベクトルを接平面それで定義する。 つまりパラメーター $(u, v)$ に対応する曲面上の点の単位法ベクトルを $\bm n$ とすると：

\[\def\cross{ \bm r_u \times \bm r_v } \bm n \coloneqq \frac{\cross}{\lVert \cross \rVert}.\]

$M = \bigcup_\lambda M_\lambda$ において $M_\alpha \cap M_\beta \ne \varnothing$ のとき、 $M_\alpha \cap M_\beta$ における曲面片 $M_\alpha, M_\beta$ の単位法ベクトルは符号を除いて等しい。

証明：例によって座標変換行列の性質を用いる。 曲面が向き付け可能である条件の証明を簡単にしたようなものになる。

定義（法線、法空間、法束）：

  • 曲面の各点において、接平面に直交する直線を法線という。
  • $p \in M$ における法ベクトル全体の集合 $\nu_pM$ を $p$ における法空間 (normal space) という。
  • $\nu M \coloneqq \bigcup_{p \in M}\nu_pM$ を法束 (normal bundle) という。

定義：第二基本形式を以下で定義する。

まず $b_{ij}\colon M \longrightarrow \R$ を上記の単位法ベクトル $\bm n$ を用いて次のようにおく：

\[\begin{aligned} b_{11} \coloneqq \frac{\partial ^2\bm r}{\partial u^2}\cdot\bm n,\quad b_{12} = b_{21} \coloneqq \frac{\partial ^2\bm r}{\partial u \partial v}\cdot \bm n,\quad b_{22} \coloneqq \frac{\partial ^2\bm r}{\partial v^2}\cdot\bm n. \end{aligned}\]

次に $M$ 上の双線形形式

\[\beta \coloneqq \sum_{i, j = 1}^2 b_{ij}\theta^1\theta^2 \coloneqq \begin{pmatrix}\theta^1 & \theta^2\end{pmatrix} \!\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}\\[1.0ex] b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}\! \!\begin{pmatrix}\theta^1 \\[1.0ex] \theta^2 \\ \end{pmatrix}\!.\]

を考える。さらに

\[L \coloneqq \varphi^*b_{11},\quad M \coloneqq \varphi^*b_{12} = \varphi^*b_{21},\quad N \coloneqq \varphi^*b_{22}\]

とおく。最後に

\[\begin{aligned} II &\coloneqq L\,(\mathrm du)^2 + 2M\,\mathrm du\mathrm dv + N\,(\mathrm dv)^2\\ &= \begin{pmatrix}\mathrm du & \mathrm dv \end{pmatrix} \!\begin{pmatrix} L & M\\[1.0ex] M & N \end{pmatrix}\! \!\begin{pmatrix}\mathrm du \\[1.0ex] \mathrm dv\end{pmatrix} \end{aligned}\]

とおけば、$II = \varphi^*\beta$ は $M$ 上の双線形形式である。 これら $II, \beta$ を曲面 $M$ の第二基本形式という。

定義：第二基本形式に対応する一次変換を Weingerten 写像という。

各 $p \in M$ から $L, M, N$ を求める変換は一次変換である。 教科書には次の形で示している：

\[\begin{aligned} g(AX, Y) = \beta(X, Y). \end{aligned}\]

これについてはいつかやる超曲面の節で詳しく調べる。

命題：

\[\beta = -\mathrm d\bm r \cdot \mathrm d\bm n.\]

証明：

\[\begin{aligned} \mathrm d\bm r \cdot \mathrm d\bm n &= (\bm r_u\,\mathrm du + \bm r_v\,\mathrm dv)\cdot(\bm n_u\,\mathrm du + \bm n_v\,\mathrm dv)\\ &= \bm r_u\cdot \bm n_u(\mathrm du)^2 + (\bm r_u \cdot \bm n_v + \bm r_v \cdot \bm n_u)\,\mathrm du\mathrm dv + \bm r_v \cdot \bm n_v(\mathrm dv)^2. \end{aligned}\]

一方 $\bm r_u \cdot \bm n = 0$ や $\bm r_v \cdot \bm n = 0$ を $u$ や $v$ で偏微分すると

\[\begin{aligned} \bm r_{uu} \cdot \bm n + \bm r_u \cdot \bm n_u = 0,\\ \bm r_{uv} \cdot \bm n + \bm r_u \cdot \bm n_v = 0,\\ \bm r_{vu} \cdot \bm n + \bm r_v \cdot \bm n_u = 0,\\ \bm r_{vv} \cdot \bm n + \bm r_v \cdot \bm n_v = 0.\\ \end{aligned}\]

だから

\[\begin{aligned} \mathrm d\bm r \cdot \mathrm d\bm n &= -\bm r_{uu}\cdot\bm n(\mathrm du)^2 -2(\bm r_{uv} \cdot \bm n)\,\mathrm du\mathrm dv -\bm r_{vv} \cdot \bm n(\mathrm dv)^2.\\ &= -\beta. \quad\blacksquare \end{aligned}\]

問：典型的な二次曲面の第二基本形式

解：[プログラム][code]を書いて出力したものを整形する。 ただし SymPy は三角関数の単純化や絶対値の平方の平方根のキャンセルが弱いので二度手間になる。

楕円面：

\[\bm r_{uu} = \!\begin{pmatrix}- a \cos u \cos v\\- b \sin u \cos v\\0\end{pmatrix}\!,\; \bm r_{uv} = \bm r_{vu} = \!\begin{pmatrix}a \sin u \sin v\\- b \sin v \cos u\\0\end{pmatrix},\; \bm r_{vv} = \!\begin{pmatrix}- a \cos u \cos v\\- b \sin u \cos v\\- c \sin v\end{pmatrix}\;.\]

特に法線ベクトルの計算結果がみっともない。表記を教科書の解答に整合させると

\[\bm n = \frac{1}{\Delta}\!\begin{pmatrix}bc\cos u\cos v \\ ca\sin u\cos v \\ ab \sin v\end{pmatrix}\!.\]

ただし教科書の解答と符号が逆転した。$\Delta$ の定義は後で書く。 したがって第二基本形式は

\[\begin{aligned} L &= - \frac{a b c \cos^2 v}{\Delta},\\ M &= 0,\\ N &= - \frac{a b c}{\Delta}. \end{aligned}\]

ここで $\Delta$ は

\[\begin{aligned} \Delta &\coloneqq \frac{1}{2\cos v}\sqrt{a^{2} b^{2} \sin^{2}{\left(2 v \right)} + 4 a^{2} c^{2} \sin^{2}u \cos^{4}v + 4 b^{2} c^{2} \cos^{2}u \cos^{4}v}\\ &= \sqrt{b^2 c^2 \cos^2 u \cos^2 v + c^2 a^2 \sin^2 u \cos^2 v + a^2 b^2 \sin^2 v}. \end{aligned}\]

一葉双曲面：

\[\bm r_{uu} = \!\begin{pmatrix}- a \cos u \cosh v\\- b \sin u \cosh v\\0\end{pmatrix},\!\; \bm r_{uv} = \bm r_{vu} = \!\begin{pmatrix}- a \sin u \sinh v\\b \cos u \sinh v\\0\end{pmatrix},\!\; \bm r_{vv} = \!\begin{pmatrix}a \cos u \cosh v\\b \sin u \cosh v\\c \sinh v\end{pmatrix}\!.\]

であるから

\[%%\bm n = \begin{pmatrix}\frac{2 b c \cos u \cosh^{2}{v}}{\sqrt{a^{2} b^{2} \sinh^{2}2v + 4 a^{2} c^{2} \sin^{2}u \cosh^{4}{v} + 4 b^{2} c^{2} \cos^2 u \cosh^{4}{v}}}\\\frac{2 a c \sin u \cosh^{2}{v}}{\sqrt{a^{2} b^{2} \sinh^{2}2v + 4 a^{2} c^{2} \sin^{2}u \cosh^{4}{v} + 4 b^{2} c^{2} \cos^2 u \cosh^{4}{v}}}\\- \frac{a b \sinh2v}{\sqrt{a^{2} b^{2} \sinh^{2}2v + 4 a^{2} c^{2} \sin^{2}u \cosh^{4}{v} + 4 b^{2} c^{2} \cos^2 u \cosh^{4}{v}}}\end{pmatrix}.\\ \bm n = \frac{1}{\Delta}\!\begin{pmatrix}bc\cos u\cosh v \\ ca\sin u\cosh v \\ -ab\sinh v\end{pmatrix}\!.\]

法線ベクトルは教科書と向きが反対になった。したがって第二基本形式は

\[\begin{aligned} L &= - \frac{a b c \cosh^2 v}{\Delta},\\ M &= 0,\\ N &= \frac{a b c}{\Delta}. \end{aligned}\]

ただし

\[\begin{aligned} \Delta &\coloneqq \frac{1}{2\cosh v}\sqrt{a^{2} b^{2} \sinh^{2}2v + 4 a^{2} c^{2} \sin^{2}u \cosh^{4}{v} + 4 b^{2} c^{2} \cos^2 u \cosh^{4}{v}}\\ &= \sqrt{b^2 c^2 \cos^2 u \cosh^2 v + c^2 a^2 \sin^2 u \cosh^2 v + a^2 b^2 \sinh^2 v}. \end{aligned}\]

二葉双曲面：

\[\bm r_{uu} = \!\begin{pmatrix}- a \cos u \sinh v\\- b \sin u \sinh v\\0\end{pmatrix}\!,\; \bm r_{uv} = \bm r_{vu} = \!\begin{pmatrix}- a \sin u \cosh v\\b \cos u \cosh v\\0\end{pmatrix}\!,\; \bm r_{vv} = \!\begin{pmatrix}a \cos u \sinh v\\b \sin u \sinh v\\c \cosh v\end{pmatrix}\!.\]

であるから（教科書と同じなのはここまで）

\[%%\bm n = \begin{pmatrix}\frac{2 b c \cos u \sinh^{2}{v}}{\sqrt{a^{2} b^{2} \sinh^{2}2v + 4 a^{2} c^{2} \sin^{2}u \sinh^{4}{v} + 4 b^{2} c^{2} \cos^2 u \sinh^{4}{v}}}\\\frac{2 a c \sin u \sinh^{2}{v}}{\sqrt{a^{2} b^{2} \sinh^{2}2v + 4 a^{2} c^{2} \sin^{2}u \sinh^{4}{v} + 4 b^{2} c^{2} \cos^2 u \sinh^{4}{v}}}\\- \frac{a b \sinh2v}{\sqrt{a^{2} b^{2} \sinh^{2}2v + 4 a^{2} c^{2} \sin^{2}u \sinh^{4}{v} + 4 b^{2} c^{2} \cos^2 u \sinh^{4}{v}}}\end{pmatrix}. \bm n = \frac{1}{\Delta}\!\begin{pmatrix}bc\cos u\sinh v \\ ca\sin u\sinh v \\ -ab\cosh v\end{pmatrix}\!.\]

法線が逆になった。したがって第二基本形式は（教科書と符号が入れ替わって）

\[\begin{aligned} L &= - \frac{a b c \sinh^{2}{v}}{\Delta},\\ M &= 0,\\ N &= - \frac{a b c}{\Delta}. \end{aligned}\]

ただし

\[\begin{aligned} \Delta &\coloneqq \frac{1}{2\sinh v}\sqrt{a^{2} b^{2} \sinh^{2}2v + 4 a^{2} c^{2} \sin^{2}u \sinh^{4}{v} + 4 b^{2} c^{2} \cos^2 u \sinh^{4}{v}}\\ &= \sqrt{b^2 c^2 \cos^2 u \sinh^2 v + c^2 a^2 \sin^2u \sin^2 v + a^2 b^2 \cosh^2 v}. \end{aligned}\]

楕円放物面：教科書の解答と同じ。

\[\bm r_{uu} = \begin{pmatrix}0\\[1.0ex]0\\[1.0ex]\dfrac{2}{a^{2}}\end{pmatrix},\quad \bm r_{uv} = \bm r_{vu} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix},\quad \bm r_{vv} = \begin{pmatrix}0\\[1.0ex]0\\[1.0ex]\dfrac{2}{b^{2}}\end{pmatrix}.\]

であるから

\[%%\bm n = \begin{pmatrix}- \frac{2 b^{2} u}{\sqrt{a^{4} b^{4} + 4 a^{4} v^2 + 4 b^{4} u^2}}\\- \frac{2 a^{2} v}{\sqrt{a^{4} b^{4} + 4 a^{4} v^2 + 4 b^{4} u^2}}\\\frac{a^{2} b^{2}}{\sqrt{a^{4} b^{4} + 4 a^{4} v^2 + 4 b^{4} u^2}}\end{pmatrix}. \bm n = \frac{1}{\Delta}\!\begin{pmatrix}-\dfrac{2u}{a^2} \\[2.0ex] -\dfrac{2v}{b^2} \\[2.0ex] 1\end{pmatrix}\!.\]

したがって第二基本形式は

\[\begin{aligned} L &= \frac{2}{a^2\Delta},\\ M &= 0,\\ N &= \frac{2}{b^2\Delta}.\\ \end{aligned}\]

ただし $\displaystyle \Delta \coloneqq \sqrt{\dfrac{4u^2}{a^4} + \dfrac{4v^2}{b^4} + 1}.$

双曲放物面：教科書の解答と同じ。

\[\bm r_{uu} = \!\begin{pmatrix}0\\[1.0ex]0\\[1.0ex]\dfrac{2}{a^{2}}\end{pmatrix}\!,\; \bm r_{uv} = \bm r_{vu} = \!\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\!,\; \bm r_{vv} = \!\begin{pmatrix}0\\[1.0ex]0\\[1.0ex]- \dfrac{2}{b^{2}}\end{pmatrix}\]

であるから

\[%%\bm n = \begin{pmatrix}- \frac{2 b^{2} u}{\sqrt{a^{4} b^{4} + 4 a^{4} v^2 + 4 b^{4} u^2}}\\\frac{2 a^{2} v}{\sqrt{a^{4} b^{4} + 4 a^{4} v^2 + 4 b^{4} u^2}}\\\frac{a^{2} b^{2}}{\sqrt{a^{4} b^{4} + 4 a^{4} v^2 + 4 b^{4} u^2}}\end{pmatrix}. \bm n = \frac{1}{\Delta}\!\begin{pmatrix}-\dfrac{2u}{a^2} \\[2.0ex] \dfrac{2v}{b^2} \\[2.0ex] 1\end{pmatrix}\!.\]

したがって第二基本形式は

\[\begin{aligned} L &= \frac{2}{a^2\Delta},\\ M &= 0,\\ N &= - \frac{2}{b^2\Delta}. \end{aligned}\]

ただし $\Delta$ は先ほどのものと同じとする。

円環面：話を簡単にするために $R + r\cos v \gt 0$ を仮定する。

\[\bm r_{uu} = \!\begin{pmatrix}- \left(R + r \cos v\right) \cos u\\- \left(R + r \cos v\right) \sin u\\0\end{pmatrix}\!,\; \bm r_{uv} = \bm r_{vu} = \!\begin{pmatrix}r \sin u \sin v\\- r \sin v \cos u\\0\end{pmatrix}\!,\; \bm r_{vv} = \!\begin{pmatrix}- r \cos u \cos v\\- r \sin u \cos v\\- r \sin v\end{pmatrix}\!\]

であるから

\[%%\bm n = \begin{pmatrix}\frac{r \left(R + r \cos v\right) \cos u \cos v}{\left|{r}\right| \left|{R + r \cos v}\right|}\\\frac{r \left(R + r \cos v\right) \sin u \cos v}{\left|{r}\right| \left|{R + r \cos v}\right|}\\\frac{r \left(R + r \cos v\right) \sin v}{\left|{r}\right| \left|{R + r \cos v}\right|}\end{pmatrix}. \bm n = \begin{pmatrix}\cos u \cos v \\ \sin u \cos v \\ \sin v\end{pmatrix}\]

したがって第二基本形式は

\[\begin{aligned} L &= - (R + r\cos v)\cos v,\\ M &= 0,\\ N &= -r. \end{aligned}\]

第二基本形式から曲面の局所的な形状を大まかに分類できることを説明する。

まず、曲面上に任意に基準となる点 $p_0 \in M$ をとり、任意の曲面上の点 $p \in M$ の高さのようなものを表す量を考える。

\[p_0 \coloneqq \bm r(u_0, v_0),\quad p \coloneqq \bm r(u, v)\]

とする。ベクトル $\bm r(u, v) - \bm r(u_0, v_0)$ を点 $p_0$ における単位法ベクトル $\bm n(p_0) = \bm n(u_0, v_0)$ に投影したベクトルの長さを高さということにして、それを点 $p$ の関数 $h(p)$ とする：

\[h(p) \coloneqq (\bm r(u, v) - \bm r(u_0, v_0)) \cdot \bm n(p_0).\]

この量は接平面 $T_{p_0}M$ から点 $p$ までの標高と考えられる。

\[\begin{aligned} \mathrm dh &= \mathrm d(\bm r \cdot \bm n(p_0))\\ &= \mathrm d\bm r \cdot \bm n(p_0)\\ &= (\bm r_u\,\mathrm du + \bm r_v\,\mathrm dv)\cdot\bm n(p_0)\\ &= \bm r_u\cdot\bm n(p_0)\,\mathrm du + \bm r_v\cdot\bm n(p_0)\,\mathrm dv.\\ \therefore \mathrm dh(p_0) &= 0. \end{aligned}\]

$h(p)$ を $p_0$ において $u, v$ の $2$ 次の項まで Taylor 展開する。 一次の項は $\bm n$ との内積を取るとゼロだから次（教科書の問題 3.3.7 の等式）が得られる：

\[\begin{aligned} h(p) &= \frac{1}{2}\left(b_{11}(p_0)(u - u_0)^2 + 2b_{12}(p_0)(u - u_0)(v - v_0) + b_{22}(v - v_0)^2 \right)\\ &\quad+ O(u - u_0, v - v_0, 3). \end{aligned}\]

Hessian を導入する：

\[\operatorname{Hess}h \coloneqq \!\begin{pmatrix} \dfrac{\partial ^2h}{\partial u^2} & \dfrac{\partial ^2h}{\partial u \partial v}\\[3ex] \dfrac{\partial ^2h}{\partial v \partial u} & \dfrac{\partial ^2h}{\partial v^2}\\ \end{pmatrix}\!.\]

これを使うと

\[(\operatorname{Hess}h)(p) = \!\begin{pmatrix} b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix}.\]

第二基本形式とは曲面片の各点の標高を表す関数の二階の微係数であるといえる。 したがって二変数関数の臨界点の議論を応用することができ（線形代数の教科書を参照するといい） 行列の固有値の符号で曲面上の点の近傍のだいたいの形状が分類できる：

点 $p$ において第二基本形式が

  • 正定値であれば、点 $p$ は $\bm n(p)$ 方向の高さの極小値を与える。
  • 負定値であれば、点 $p$ は $\bm n(p)$ 方向の高さの極大値を与える。
  • 不定値であれば、点 $p$ は鞍点 (suddle point) である。
  • それ以外の場合はこの情報からだけでは何とも言えない。

$b_{ij}$ は局所座標のとり方によっては符号が入れ替わるが、絶対値は同じだ。 したがって $LN - M^2$ の符号は局所座標によらずに定まる。

いちおう書いておく。固有値 $\lambda_1, \lambda_2$ の符号が $+, +$ か $-, -$ ならば $\lambda_1\lambda_2 = LN - M^2$ は正、異符号ならば負だということだ。

簡単にまとめると：

  • $LM - N^2 \gt 0$ ならば曲面 $M$ は点 $p$ の近傍において凸か凹である。
  • $LM - N^2 \lt 0$ ならば点 $p$ は鞍点である。

定義： $LM - N^2$ の符号に応じて曲面片の点の分類を次のようにする：

  • 正ならば楕円的な点（凸または凹）
  • 負ならば双曲的な点（鞍点）
  • ゼロならば放物的な点

という。

第二基本形式を利用して、曲面の曲がり具合を定義する。 特に、曲面上の一点の法線を含む平面と曲面の交線を調べる。

定義（曲面上の点における接ベクトル方向の法曲率）：

$p \in M$ における接ベクトルを $X$ とする。このとき単位法ベクトル $\bm n(p)$ と $X$ から平面 $\pi_p(X)$ が定まる。 この平面と曲面との交線を $\gamma_p(X) \coloneqq M \cap \pi_p(X)$ とおく。 曲線 $\gamma_p(X)$ は $M$ 上の曲線であり平面曲線である。

$\gamma_p(X)$ の弧長パラメーター表示を $\bm r = \bm r(s) = \bm r(u(s), v(s))$ とおく。 曲線の形状を考慮すると次のように表されるはずである：

\[\frac{\mathrm{d}^2\bm r}{\mathrm{d}s^2} = \kappa_p(X)\bm n(p).\]

$\kappa_p(X)$ は平面曲線の点 $p$ における曲率と同じものである。 これを曲面 $M$ の点 $p$ における $X$ 方向の法曲率という。

定義式の両辺に $\cdot \bm n(p)$ して曲率を求めると次が得られる：

\[\begin{aligned} \kappa_p(X) &= b_{11}\!\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}s}\right)^2 + 2b_{12} \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}s}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s} + b_{22}\!\left(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s}\right)^2.\\ \therefore \kappa_p(X) &= L\!\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}s}\right)^2 + 2M \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}s}\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s} + N\!\left(\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s}\right)^2. \end{aligned}\]

$X = \xi\bm r_u + \eta \bm r_v$ とするとこの点において

\[\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}\bm r}{\mathrm{d}s} &= \frac{X}{\lVert X\rVert}.\\ X &= \lVert X \rVert\frac{\mathrm{d}\bm r}{\mathrm{d}s}\\ &= \lVert X \rVert\!\left(\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}s}\bm r_u + \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s}\bm r_v\right)\!.\\ \therefore\;& \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}s} = \frac{\xi}{\lVert X \rVert}, \quad \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}s} = \frac{\eta}{\lVert X\rVert}. \end{aligned}\]

および $\lVert X \rVert^2 = E\xi^2 + 2F\xi\eta + G\eta^2$ を代入すると

\[\kappa_p(X) = \frac{L\xi^2 + 2M\xi\eta + N\eta^2}{E\xi^2 + 2F\xi\eta + G\eta^2} = \frac{\beta(X, X)}{g(X, X)}.\]

この式から法曲率は $X$ の長さにはよらないことが示された。

定義（単位接束）：法曲率は次の集合上の連続関数と解釈できる。

\[UM \coloneqq \{(p, X)\,|\,p \in M,\;X \in T_pM\;\lVert X \rVert = 1\}.\]

定義（主曲率）： 法曲率 $\kappa_p(X)$ の $X \in U_pM$ を変化させたときの最大値と最小値を調べる。

$\kappa_p(X)$ が最大値または最小値 $\lambda$ を $X = \xi\bm r_u + \eta\bm r_v$ のときにとると仮定すると

\[\frac{\partial \kappa_p(X)}{\partial \xi} = \frac{\partial \kappa_p(X)}{\partial \eta} = 0\]

が必要であることから、

\[\def\P{\beta(X, X)} \def\Q{g(X, X)} \begin{aligned} &\phantom{=} \frac{\partial \kappa_p(X)}{\partial \xi}\\ &= \frac{2(L\xi + M\eta)\Q - \P2(E\xi + F\eta)}{\Q^2}\\ &= 0.\\ \therefore\;& (L\xi + M\eta)\Q - \P(E\xi + F\eta) = 0.\\ \therefore\;& (L\xi + M\eta) - \lambda(E\xi + F\eta) = 0.\\ %% &\phantom{=} \frac{\partial \kappa_p(X)}{\partial \eta}\\ &= \frac{2(M\xi + N\eta)\Q - \P2(F\xi + G\eta)}{\Q^2}\\ &= 0.\\ \therefore\; &(M\xi + N\eta)\Q - \P(F\xi + G\eta) = 0.\\ \therefore\; &(M\xi + N\eta) - \lambda(F\xi + G\eta) = 0.\\ \end{aligned}\]

したがって次が必要である：

\[\begin{cases} (L - \lambda E)\xi + (M - \lambda F)\eta = 0,\\[1ex] (M - \lambda F)\xi + (N - \lambda G)\eta = 0 \end{cases}\]

が必要である。

$X \ne 0,$ i.e. $(\xi, \eta) \ne \bm 0$ から

\[\begin{vmatrix} L - \lambda E & M - \lambda F\\[1ex] M - \lambda F & N - \lambda G \end{vmatrix} = 0\]

が必要。したがって、最大値・最小値は次の二次方程式の根である：

\[(EG - F)^2\lambda^2 - (EN + GL - 2FM)\lambda + LN - M^2 = 0.\]
  • この二つの根を曲面 $M$ の主曲率といい、それぞれ $\kappa_1, \kappa_2$ で表す。
  • 各根に対応する $(\xi, \eta)$ を成分とするベクトルを、その主曲率に対する主曲率ベクトルという。
  • 主曲率ベクトルの方向を主方向という。

命題：主曲率と主方向は局所座標系のとり方によらない。

証明：局所座標系のパラメーター $(u_\alpha, v_\alpha)$ における主曲率を $\kappa_i\;(i = 1, 2)$ とし、対応する主方向ベクトルを $X_i \coloneqq \xi_i\bm r_{u_\alpha} + \eta_i\bm r_{v_\alpha}$ のように表す。

いつもの座標変換の行列を $J$ とおくと、もう一つのパラメーター $(u_\beta, v_\beta)$ での表現との間に次の等式が成り立つ：

\[\def\I#1{ \!\begin{pmatrix} E_{#1} & F_{#1}\\ F_{#1} & G_{#1} \end{pmatrix}\! } \def\II#1{ \!\begin{pmatrix} L_{#1} & M_{#1}\\ M_{#1} & N_{#1} \end{pmatrix}\! } \begin{aligned} \I{\alpha} &= {}^t\!J\I{\beta}J,\\ \II{\alpha} &= \pm{}^t\!J\II{\beta}J. \end{aligned}\]

第二式からの第一式の $\lambda$ 倍を引いて行列式をとれば次が得られる（教科書解答と同値）：

\[\begin{vmatrix} L_\alpha - \lambda E_\alpha & M_\alpha - \lambda F_\alpha\\[1ex] M_\alpha - \lambda F_\alpha & N_\alpha - \lambda G_\alpha \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \pm L_\beta - \lambda E_\beta & \pm M_\beta - \lambda F_\beta\\[1ex] \pm M_\beta - \lambda F_\beta & \pm N_\beta - \lambda G_\beta \end{vmatrix}.\]

命題：主曲率二つが相異なるとき、主方向同士は直交する。

検討：主曲率ベクトルの必要条件を変形する。

証明：さきほどの関係式から次が成り立つ：

\[\begin{cases} (L\xi_i + M\eta_i) - \kappa_i(E\xi_i + F\eta_i) = 0,\\ (M\xi_i + N\eta_i) - \kappa_i(F\xi_i + G\eta_i) = 0 \end{cases}\]

ここで $i = 1, 2,$ かつ $\kappa_1 \ne \kappa_2$ である。 第一式 $\times \xi_2 +$ 第二式 $\times \eta_2 -$ 第三式 $\times \xi_1 -$ 第四式 $\times \eta_1$ から

\[\begin{aligned} &(\kappa_1 - \kappa_2)(E\xi_1\xi_2 + F(\xi_1\eta_2 + \xi_2\eta_1) + G\eta_1\eta_2) = 0.\\ &\therefore\; E\xi_1\xi_2 + F(\xi_1\eta_2 + \xi_2\eta_1) + G\eta_1\eta_2 = 0.\\ &\iff \xi_1\bm r_u + \eta_1\bm r_v \perp \xi_2\bm r_u + \eta_2\bm r_v. \quad\blacksquare \end{aligned}\]

定義：Gauss 曲率と平均曲率を次で定義する：

\[K \coloneqq \kappa_1\kappa_2 = \frac{LN - M^2}{EG - F^2}.\] \[H \coloneqq \frac{1}{2}(\kappa_1 + \kappa_2) = \frac{EN + GL - 2FM}{2(EG - F^2)}.\]

例によって、これらの曲率は局所座標系のとり方によらない。

また、先ほどの曲面の曲がり具合の分類は Gauss 曲率により言い換えられる：

  • $K \gt 0$ ならば曲面 $M$ は点 $p$ の近傍において凸か凹である。
  • $K \lt 0$ ならば点 $p$ は鞍点である。

第一基本形式は曲面人にも理解できる。しかし第二基本形式はそうではない。 曲面人は法ベクトルを認識できない。

半径 $a$ の球面の Gauss 曲率、平均曲率はそれぞれ

\[K = \frac{1}{a^2},\;H = \frac{1}{a}.\]

問：$(v\cos u, v\sin u, au)$ の Gauss 曲率、平均曲率を求めろ。

解：以下 SymPy による。教科書と法線ベクトルの向きが反対になる。

\[\bm n = \!\begin{pmatrix}- \dfrac{a \sin u}{\sqrt{a^{2} + v^2}}\\\dfrac{a \cos u}{\sqrt{a^{2} + v^2}}\\- \dfrac{v}{\sqrt{a^{2} + v^2}}\end{pmatrix}\!.\] \[\bm r_{uu} = \!\begin{pmatrix}- v \cos u\\- v \sin u\\0\end{pmatrix}\!,\; \bm r_{uv} = \bm r_{vu} = \begin{pmatrix}- \sin u\\\cos u\\0\end{pmatrix}\!,\; \bm r_{vv} = \!\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\!.\]

したがって第二基本形式は

\[\begin{aligned} L &= 0,\\ M &= \frac{a}{\sqrt{a^{2} + v^2}},\\ N &= 0. \end{aligned}\]

したがって

\[K = -\frac{a^2}{(a^2 + v^2)^2},\; H = 0.\]

問：$(3u + 3uv^2 - u^3, v^3 - 3v - 3u^2v, 3(u^2 - v^2))$ の Gauss 曲率、平均曲率を求めろ。

解：以下 SymPy による。教科書と法線ベクトルの向きが反対になる。

\[\bm r_u = \!\begin{pmatrix}- 3 u^2 + 3 v^2 + 3\\- 6 u v\\6 u\end{pmatrix}\!,\; \bm r_v = \!\begin{pmatrix}6 u v\\- 3 u^2 + 3 v^2 - 3\\- 6 v\end{pmatrix}\!\]

であるから

\[\begin{aligned} E &= 9 (u^2 + v^2 + 1)^2,\\ F &= 0,\\ G &= 9 (u^2 + v^2 + 1)^2. \end{aligned}\] \[\bm r_{uu} = \!\begin{pmatrix}- 6 u\\- 6 v\\6\end{pmatrix}\!,\; \bm r_{uv} = \bm r_{vu} = \!\begin{pmatrix}6 v\\- 6 u\\0\end{pmatrix}\!,\; \bm r_{vv} = \!\begin{pmatrix}6 u\\6 v\\-6\end{pmatrix}\!.\] \[\bm r_u \times \bm r_v = 9(u^2 + v^2 + 1)\! \begin{pmatrix} 2u \\ 2v \\ u^2 + v^2 - 1 \end{pmatrix}\!.\] \[\bm n = \frac{1}{u^2 + v^2 + 1}\!\begin{pmatrix} 2u\\ 2v\\ u^2 + v^2 - 1 \end{pmatrix}\!.\]

したがって第二基本形式は

\[\begin{aligned} L &= -6,\\ M &= 0,\\ N &= 6. \end{aligned}\]

したがって

\[K = - \frac{4}{9(u^2 + v^2 + 1)^4},\; H = 0.\]

問: $\mathrm{e}^z\cos x = \cos y$ の Gauss 曲率、平均曲率を求めろ。

解：パラメーター表示を $\left(u, v, \log\dfrac{\cos v}{\cos u}\right)$ とする。 以下 SymPy で計算したもの（教科書解答と表現は違うが同じ値）：

\[\bm r_u = \!\begin{pmatrix}1\\0\\\tan u\end{pmatrix}\!,\; \bm r_v = \!\begin{pmatrix}0\\1\\- \tan v\end{pmatrix}\!\]

であるから

\[\begin{aligned} E &= \tan^{2}u + 1,\\ F &= - \tan u \tan v,\\ G &= \tan^{2}v + 1. \end{aligned}\] \[\bm n = \frac{1}{\Delta}\!\begin{pmatrix}-\tan u\\\tan v\\1\end{pmatrix}\!.\]

ただし $\Delta \coloneqq \sqrt{\tan^{2}u + \tan^{2}v + 1}.$

\[\bm r_{uu} = \!\begin{pmatrix}0\\0\\\dfrac{1}{\cos^{2}u}\end{pmatrix}\!,\; \bm r_{uv} = \bm r_{vu} = \!\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}\!,\; \bm r_{vv} = \!\begin{pmatrix}0\\0\\- \dfrac{1}{\cos^{2}v}\end{pmatrix}\!.\]

したがって第二基本形式は

\[\begin{aligned} L &= \frac{1}{\Delta \cos^{2}u},\\ M &= 0,\\ N &= - \frac{1}{\Delta \cos^{2}v}. \end{aligned}\]

したがって

\[K = - \frac{1}{\Delta^4 \cos^{2}u \cos^{2}v},\; H = 0.\]

問：平面曲線 $x = a\cosh\dfrac{z}{a}$ を $z$ 軸周りに回転して得られる曲面の Gauss 曲率、平均曲率を求めろ。

解：回転面なので適当にパラメーターを付ける。以下 SymPy の出力。

$\displaystyle (x, y, z) = \left(a\cosh\frac{v}{a}\cos u, a\cosh\frac{v}{a}\sin u, v\right)$ とする。

\[\bm r_u = \!\begin{pmatrix}- a \sin u \cosh\dfrac{v}{a}\\a \cos u \cosh\dfrac{v}{a}\\0\end{pmatrix}\!,\; \bm r_v = \!\begin{pmatrix}\cos u \sinh\dfrac{v}{a}\\\sin u \sinh\dfrac{v}{a}\\1\end{pmatrix}\!\]

であるから

\[\begin{aligned} E &= a^{2} \cosh^2\dfrac{v}{a},\\ F &= 0,\\ G &= \cosh^2\dfrac{v}{a}. \end{aligned}\] \[\bm n = \!\begin{pmatrix}\dfrac{\cos u}{\cosh\dfrac{v}{a}}\\\dfrac{\sin u}{\cosh\dfrac{v}{a}}\\- \tanh\dfrac{v}{a}\end{pmatrix}\!.\] \[\begin{aligned} \bm r_{uu} &= -a\!\begin{pmatrix}\cos u \cosh\dfrac{v}{a}\\\sin u \cosh\dfrac{v}{a}\\0\end{pmatrix}\!,\\ \bm r_{uv} = \bm r_{vu} &= \!\begin{pmatrix}- \sin u \sinh\dfrac{v}{a}\\\cos u \sinh\dfrac{v}{a}\\0\end{pmatrix}\!,\\ \bm r_{vv} &= \!\dfrac{1}{a} \begin{pmatrix} \cos u \cosh\dfrac{v}{a}\\ \sin u \cosh\dfrac{v}{a}\\ 0\end{pmatrix}\!. \end{aligned}\]

したがって第二基本形式は

\[\begin{aligned} L &= - a,\\ M &= 0,\\ N &= \frac{1}{a}. \end{aligned}\]

したがって

\[\begin{aligned} K &= - \frac{1}{a^{2} \cosh^{4}{\dfrac{v}{a}}} = -\frac{1}{a^2}\left(1 - \tanh^2\frac{v}{a}\right)^2,\\ H &= 0. \end{aligned}\]

以上